Crecimiento de x − 2 sen x en un período

Tema: 5. Aplicaciones de la derivada › 5.1 Análisis de crecimiento
Dificultad: Intermedio
Método: Signo de la primera derivada

Estudia el crecimiento de $f(x) = x - 2\operatorname{sen} x$ en $[0, 2\pi]$ y halla sus extremos locales.

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$f'(x) = 1 - 2\cos x$ , que se anula cuando $\cos x = \frac{1}{2}$ : en $[0, 2\pi]$ , $x = \frac{\pi}{3}$ y $x = \frac{5\pi}{3}$ .
Signo: $f'(0) = -1 < 0$ , $f'(\pi) = 3 > 0$ y $f'(2\pi) = -1 < 0$ . Entonces $f$ decrece en $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ , crece en $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$ y decrece en $\left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right)$ .
Mínimo local en $\frac{\pi}{3}$ : $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \approx -0.685$ .
Máximo local en $\frac{5\pi}{3}$ : $f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} \approx 6.968$ .

Resultado final: Mínimo local $\dfrac{\pi}{3} - \sqrt{3}$ en $x = \dfrac{\pi}{3}$ ; máximo local $\dfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3}$ en $x = \dfrac{5\pi}{3}$ .