Extremos de una función racional

1. Regla del cociente: $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.
2. $f'(x) = 0$ si $x = \pm 1$. El denominador es siempre positivo.
3. Signo de $1 - x^2$: negativo en $(-\infty, -1)$, positivo en $(-1, 1)$ y negativo en $(1, \infty)$.
4. Mínimo local en $x = -1$: $f(-1) = -\frac{1}{2}$. Máximo local en $x = 1$: $f(1) = \frac{1}{2}$.

Resultado final: Mínimo local $\left(-1, -\dfrac{1}{2}\right)$ y máximo local $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$.