Caja abierta de volumen máximo

Tema: 5. Aplicaciones de la derivada › 5.3 Optimización
Dificultad: Intermedio
Método: Optimización en un intervalo y primera derivada

De una lámina cuadrada de $20$ cm de lado se recortan cuadrados de lado $x$ en las esquinas para formar una caja sin tapa. ¿Qué valor de $x$ maximiza el volumen?

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Volumen: $V(x) = x(20 - 2x)^2$ , con $0 < x < 10$ .
Derivamos con la regla del producto: $V'(x) = (20 - 2x)^2 + x \cdot 2(20 - 2x)(-2) = (20 - 2x)(20 - 6x)$ .
En $(0, 10)$ , $V'(x) = 0$ solo si $20 - 6x = 0$ , es decir, $x = \frac{10}{3}$ . $V'$ es positiva antes y negativa después: máximo.
$V\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{10}{3}\left(\frac{40}{3}\right)^2 = \frac{16000}{27} \approx 592.6$ cm³.

Resultado final: $x = \dfrac{10}{3} \approx 3.33$ cm, con volumen máximo $\dfrac{16000}{27} \approx 592.6$ cm³.