Utilidad máxima con demanda lineal

Tema: 5. Aplicaciones de la derivada › 5.3 Optimización
Dificultad: Intermedio
Método: Utilidad = ingreso − costo y primera derivada

Una empresa vende $q$ unidades al precio $p = 100 - 0.5q$ soles, y su costo es $C(q) = 20q + 500$ . ¿Cuántas unidades maximizan la utilidad? ¿A qué precio y cuál es la utilidad máxima?

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Ingreso: $I(q) = pq = 100q - 0.5q^2$ . Utilidad: $U(q) = I(q) - C(q) = 80q - 0.5q^2 - 500$ .
$U'(q) = 80 - q = 0$ en $q = 80$ . Como $U''(q) = -1 < 0$ , es un máximo.
Precio: $p = 100 - 0.5(80) = 60$ soles.
Utilidad máxima: $U(80) = 6400 - 3200 - 500 = 2700$ soles. Equivalentemente, en el óptimo el ingreso marginal ( $100 - q = 20$ ) iguala al costo marginal ( $20$ ).

Resultado final: $q = 80$ unidades a S/ 60; utilidad máxima de S/ 2700.