Escalera que se desliza por una pared

Tema: 5. Aplicaciones de la derivada › 5.4 Tasas relacionadas y aproximación
Dificultad: Básico
Método: Tasas relacionadas con el teorema de Pitágoras

Una escalera de $5$ m está apoyada en una pared. Su base se aleja de la pared a $0.5$ m/s. ¿Con qué rapidez baja el extremo superior cuando la base está a $3$ m de la pared?

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Sea $x$ la distancia de la base a la pared e $y$ la altura del extremo superior. Por Pitágoras: $x^2 + y^2 = 25$ .
Derivamos respecto de $t$ : $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ , de donde $\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}$ .
Con $x = 3$ : $y = \sqrt{25 - 9} = 4$ . Además $\frac{dx}{dt} = 0.5$ .
$\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4}(0.5) = -0.375$ m/s. El signo negativo indica que la altura disminuye.

Resultado final: El extremo superior baja a $0.375$ m/s.