Llenado de un tanque cónico

Tema: 5. Aplicaciones de la derivada › 5.4 Tasas relacionadas y aproximación
Dificultad: Intermedio
Método: Tasas relacionadas con volumen y semejanza

Un tanque tiene forma de cono invertido, con radio superior de $2$ m y altura de $4$ m. Se le echa agua a $2$ m³/min. ¿Con qué rapidez sube el nivel cuando el agua tiene $3$ m de profundidad?

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Volumen del agua: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ , donde $r$ y $h$ son el radio y la altura de la superficie del agua.
Por semejanza con el cono completo: $\frac{r}{h} = \frac{2}{4}$ , de donde $r = \frac{h}{2}$ . Entonces $V = \frac{1}{3}\pi\frac{h^2}{4}h = \frac{\pi h^3}{12}$ .
Derivamos: $\frac{dV}{dt} = \frac{\pi h^2}{4}\frac{dh}{dt}$ .
Con $\frac{dV}{dt} = 2$ y $h = 3$ : $2 = \frac{9\pi}{4}\frac{dh}{dt}$ , de donde $\frac{dh}{dt} = \frac{8}{9\pi} \approx 0.283$ m/min.

Resultado final: El nivel sube a $\dfrac{8}{9\pi} \approx 0.283$ m/min.