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Ejercicios de Cálculo
← 5.4 Tasas relacionadas y aproximación

Método de Newton para una ecuación cúbica

Tema
5. Aplicaciones de la derivada › 5.4 Tasas relacionadas y aproximación
Dificultad
Avanzado
Método
Método de Newton-Raphson

Aplica dos iteraciones del método de Newton a x3−x−1=0x^3 - x - 1 = 0 desde x0=1.5x_0 = 1.5.

Ver solución
  1. f(x)=x3−x−1f(x) = x^3 - x - 1 y f′(x)=3x2−1f'(x) = 3x^2 - 1. Fórmula: xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  2. Primera iteración: f(1.5)=3.375−1.5−1=0.875f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 y f′(1.5)=6.75−1=5.75f'(1.5) = 6.75 - 1 = 5.75, así que x1=1.5−0.8755.75≈1.5−0.152174=1.347826x_1 = 1.5 - \frac{0.875}{5.75} \approx 1.5 - 0.152174 = 1.347826.
  3. Segunda iteración: x13≈2.448514x_1^3 \approx 2.448514, de donde f(x1)≈2.448514−1.347826−1=0.100688f(x_1) \approx 2.448514 - 1.347826 - 1 = 0.100688, y f′(x1)≈3(1.816635)−1=4.449905f'(x_1) \approx 3(1.816635) - 1 = 4.449905.
  4. x2≈1.347826−0.1006884.449905≈1.347826−0.022627=1.325199x_2 \approx 1.347826 - \frac{0.100688}{4.449905} \approx 1.347826 - 0.022627 = 1.325199.
  5. La raíz real es 1.324718…1.324718\ldots. Con dos iteraciones el error ya es menor que 0.00050.0005; por bisección (sección 3.5) hacían falta muchos más pasos.

Resultado final: x2≈1.3252x_2 \approx 1.3252 (raíz real ≈1.3247\approx 1.3247).