Método de Newton para aproximar √2

Tema: 5. Aplicaciones de la derivada › 5.4 Tasas relacionadas y aproximación
Dificultad: Intermedio
Método: Método de Newton-Raphson

Aplica tres iteraciones del método de Newton a $f(x) = x^2 - 2$ , desde $x_0 = 1$ , para aproximar $\sqrt{2}$ .

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Método de Newton: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ . Aquí $f'(x) = 2x$ , así que $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}$ .
$x_1 = \frac{1}{2} + 1 = 1.5$ .
$x_2 = 0.75 + \frac{1}{1.5} = 0.75 + 0.666667 = 1.416667$ .
$x_3 = 0.708333 + \frac{1}{1.416667} \approx 0.708333 + 0.705882 = 1.414216$ .
El valor real es $\sqrt{2} = 1.414214\ldots$ : tras tres iteraciones ya hay cinco decimales correctos.

Resultado final: $x_3 \approx 1.414216$ , que aproxima $\sqrt{2}$ .