2.6 Límites exponenciales y logarítmicos

1. Límite que define una potencia del número e

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.6 Límites exponenciales y logarítmicos

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Cambio de variable y límite fundamental de e

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x}$$

   Ver solución

   1. La base tiende a $1$ y el exponente a $\infty$: es una indeterminación del tipo $1^{\infty}$. Usaremos el límite notable $\displaystyle \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u} = e$.
   2. Hacemos el cambio $\frac{3}{x} = \frac{1}{u}$, es decir, $x = 3u$. Cuando $x \to \infty$, también $u \to \infty$.
   3. Reescribimos la expresión: $\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x} = \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3u} = \left[\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right]^{3}$.
   4. Como la función $t \mapsto t^3$ es continua, el límite es $\left[\displaystyle \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right]^{3} = e^{3}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x} = e^{3}$

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2. Límite fundamental exponencial con argumento 3x

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Límite fundamental (e^u − 1)/u

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$. Usaremos el límite fundamental $\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{e^{u} - 1}{u} = 1$.
   2. Para que el denominador coincida con el exponente, multiplicamos y dividimos por $3$: $\frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \cdot \frac{e^{3x} - 1}{3x}$.
   3. Con $u = 3x$: cuando $x \to 0$, $u \to 0$, así que $\frac{e^{3x} - 1}{3x} \to 1$.
   4. Por lo tanto el límite es $3 \cdot 1 = 3$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3$

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3. Límite fundamental logarítmico con argumento 5x

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.6 Límites exponenciales y logarítmicos

   Dificultad

   Básico

   Método

   Límite fundamental ln(1 + u)/u

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 5x)}{x}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{\ln 1}{0} = \frac{0}{0}$. Cerca de $0$ se cumple $1 + 5x > 0$, así que la función está definida. Usaremos $\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{\ln(1 + u)}{u} = 1$.
   2. Multiplicamos y dividimos por $5$: $\frac{\ln(1 + 5x)}{x} = 5 \cdot \frac{\ln(1 + 5x)}{5x}$.
   3. Con $u = 5x \to 0$: $\frac{\ln(1 + 5x)}{5x} \to 1$.
   4. Por lo tanto el límite es $5 \cdot 1 = 5$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 5x)}{x} = 5$

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4. Diferencia de dos exponenciales

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.6 Límites exponenciales y logarítmicos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Separación en límites fundamentales exponenciales

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{x}}{x}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$.
   2. Sumamos y restamos $1$ en el numerador: $e^{2x} - e^{x} = (e^{2x} - 1) - (e^{x} - 1)$.
   3. Separamos: $\frac{e^{2x} - e^{x}}{x} = 2 \cdot \frac{e^{2x} - 1}{2x} - \frac{e^{x} - 1}{x}$.
   4. Por el límite fundamental $\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{e^{u} - 1}{u} = 1$ (con $u = 2x$ y con $u = x$), ambos cocientes tienden a $1$. Como los dos límites existen, el límite de la diferencia es la diferencia de los límites.
   5. Resultado: $2 \cdot 1 - 1 = 1$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{x}}{x} = 1$

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5. Indeterminación 1^∞ cuando x tiende a cero

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.6 Límites exponenciales y logarítmicos

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Límite fundamental (1 + u)^(1/u) = e

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{1/x}$$

   Ver solución

   1. Cuando $x \to 0$ la base tiende a $1$ y el exponente $\frac{1}{x}$ no está acotado: es una indeterminación del tipo $1^{\infty}$. Usaremos $\displaystyle \lim_{u \to 0} (1 + u)^{1/u} = e$.
   2. Para que el exponente sea el recíproco de $2x$, escribimos $\frac{1}{x} = \frac{1}{2x} \cdot 2$: $(1 + 2x)^{1/x} = \left[(1 + 2x)^{1/(2x)}\right]^{2}$.
   3. Con $u = 2x \to 0$: $(1 + 2x)^{1/(2x)} \to e$.
   4. Como la función $t \mapsto t^2$ es continua, el límite es $e^{2}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{1/x} = e^{2}$

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6. Indeterminación 1^∞ con un cociente de polinomios

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.6 Límites exponenciales y logarítmicos

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Logaritmo del límite y límite fundamental logarítmico

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x - 2}\right)^{x}$$

   Ver solución

   1. Cuando $x \to \infty$, $\frac{x + 1}{x - 2} \to 1$ y el exponente tiende a $\infty$: es una indeterminación $1^{\infty}$. Para $x > 2$ la base es positiva y podemos escribir $\left(\frac{x + 1}{x - 2}\right)^{x} = e^{\,x \ln\left(\frac{x + 1}{x - 2}\right)}$.
   2. Escribimos la base como $1 + u$: $\frac{x + 1}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x - 2}$, con $u = \frac{3}{x - 2} \to 0$ y $u \neq 0$.
   3. El exponente es $x \ln(1 + u) = \frac{\ln(1 + u)}{u} \cdot u\,x = \frac{\ln(1 + u)}{u} \cdot \frac{3x}{x - 2}$.
   4. Límites de cada factor: $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ (límite fundamental) y $\frac{3x}{x - 2} = \frac{3}{1 - \frac{2}{x}} \to 3$. Así, el exponente tiende a $3$.
   5. Como la exponencial es continua: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} e^{\,x \ln\left(\frac{x + 1}{x - 2}\right)} = e^{3}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x - 2}\right)^{x} = e^{3}$

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7. Indeterminación 1^∞ con coseno

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.6 Límites exponenciales y logarítmicos

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Logaritmo del límite y límites fundamentales

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$$

   Ver solución

   1. Cuando $x \to 0$, $\cos x \to 1$ y $\frac{1}{x^2} \to \infty$: indeterminación $1^{\infty}$. Cerca de $0$ se cumple $\cos x > 0$, así que $(\cos x)^{1/x^2} = e^{\ln(\cos x)/x^2}$.
   2. Sea $u = \cos x - 1$. Para $x \neq 0$ cercano a $0$ se cumple $u \neq 0$ y $u \to 0$. Escribimos: $\frac{\ln(\cos x)}{x^2} = \frac{\ln(1 + u)}{u} \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2}$.
   3. Primer factor: $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ (límite fundamental logarítmico).
   4. Segundo factor: multiplicando por $1 + \cos x$, $\frac{\cos x - 1}{x^2} = -\left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to -1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
   5. El exponente tiende a $1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$, y por la continuidad de la exponencial el límite es $e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

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8. Indeterminación 0^0: el límite de x^x

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.6 Límites exponenciales y logarítmicos

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Logaritmo del límite, cambio de variable y teorema del encaje

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0^+} x^{x}$$

   Ver solución

   1. Cuando $x \to 0^+$ la base y el exponente tienden a $0$: indeterminación $0^{0}$. Para $x > 0$ escribimos $x^{x} = e^{\,x \ln x}$, así que basta calcular $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \ln x$.
   2. Hacemos $t = -\ln x$. Cuando $x \to 0^+$, $t \to +\infty$, y $x = e^{-t}$. Entonces $x \ln x = e^{-t}(-t) = -\frac{t}{e^{t}}$.
   3. Desigualdad auxiliar: para $t > 0$ se cumple $e^{t} > 1 + t + \frac{t^2}{2} > \frac{t^2}{2}$. (La función $g(t) = e^{t} - 1 - t - \frac{t^2}{2}$ vale $0$ en $t = 0$ y es creciente para $t > 0$, porque $g'(t) = e^{t} - 1 - t > 0$ allí.)
   4. Por lo tanto, para $t > 0$: $0 < \frac{t}{e^{t}} < \frac{t}{t^2/2} = \frac{2}{t}$. Como $\frac{2}{t} \to 0$, por el teorema del encaje $\frac{t}{e^{t}} \to 0$, y así $x \ln x \to 0$.
   5. Por la continuidad de la exponencial: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{x} = e^{0} = 1$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{x} = 1$

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9. Indeterminación ∞^0: el límite de x^(1/x)

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.6 Límites exponenciales y logarítmicos

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Logaritmo del límite, cambio de variable y teorema del encaje

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} x^{1/x}$$

   Ver solución

   1. Cuando $x \to \infty$ la base tiende a $\infty$ y el exponente a $0$: indeterminación $\infty^{0}$. Para $x > 0$ escribimos $x^{1/x} = e^{\ln x / x}$, así que basta calcular $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$.
   2. Hacemos $t = \ln x$. Cuando $x \to \infty$, $t \to \infty$, y $x = e^{t}$. Entonces $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{e^{t}}$.
   3. Para $t > 0$ se cumple $e^{t} > \frac{t^2}{2}$ (la función $e^{t} - 1 - t - \frac{t^2}{2}$ vale $0$ en $t = 0$ y crece para $t > 0$). Entonces $0 < \frac{t}{e^{t}} < \frac{2}{t}$.
   4. Como $\frac{2}{t} \to 0$, por el teorema del encaje $\frac{t}{e^{t}} \to 0$; es decir, $\frac{\ln x}{x} \to 0$.
   5. Por la continuidad de la exponencial: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{1/x} = e^{0} = 1$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{1/x} = 1$

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10. Diferencia de logaritmos al infinito

    Tema

    2. Límites de funciones › 2.6 Límites exponenciales y logarítmicos

    Dificultad

    Básico

    Método

    Propiedades del logaritmo y continuidad

    Calcula el siguiente límite:

    $$\lim_{x \to \infty} \left[\ln(2x + 1) - \ln x\right]$$

    Ver solución

    1. Cada logaritmo tiende a $\infty$, así que es una indeterminación $\infty - \infty$. Para $x > 0$ ambos logaritmos están definidos.
    2. Por la propiedad del logaritmo de un cociente: $\ln(2x + 1) - \ln x = \ln\left(\frac{2x + 1}{x}\right) = \ln\left(2 + \frac{1}{x}\right)$.
    3. Cuando $x \to \infty$, $2 + \frac{1}{x} \to 2$.
    4. Como el logaritmo es continuo en $2$: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \ln\left(2 + \frac{1}{x}\right) = \ln 2$.

    Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[\ln(2x + 1) - \ln x\right] = \ln 2$

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