Concavidad y punto de inflexión de una cúbica

Tema: 5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico
Dificultad: Básico
Método: Signo de la segunda derivada

Estudia la concavidad de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ y halla su punto de inflexión.

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Criterio: si $f'' > 0$ en un intervalo, $f$ es cóncava hacia arriba allí; si $f'' < 0$ , es cóncava hacia abajo.
$f'(x) = 3x^2 - 6x$ y $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$ .
$f'' < 0$ para $x < 1$ (cóncava hacia abajo) y $f'' > 0$ para $x > 1$ (cóncava hacia arriba).
La concavidad cambia en $x = 1$ , y $f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$ : el punto de inflexión es $(1, 2)$ .

Resultado final: Cóncava hacia abajo en $(-\infty, 1)$ y hacia arriba en $(1, \infty)$ ; inflexión en $(1, 2)$ .