5.2 Concavidad y comportamiento gráfico

1. Segunda derivada y puntos de inflexión

   Tema

   5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Signo de la segunda derivada

   Para la función

   $$f(x) = x^4 - 6x^2,$$

   halla $f''(x)$ y los puntos de inflexión.

   Ver solución

   1. Primera derivada (regla de la potencia): $f'(x) = 4x^3 - 12x$.
   2. Segunda derivada: $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 12(x - 1)(x + 1)$.
   3. Los candidatos a inflexión son los ceros de $f''$: $12(x - 1)(x + 1) = 0$, es decir, $x = -1$ y $x = 1$.
   4. Estudiamos el signo de $f''$: es positiva si $x < -1$ (cóncava hacia arriba), negativa si $-1 < x < 1$ (cóncava hacia abajo) y positiva si $x > 1$.
   5. La concavidad cambia en $x = -1$ y en $x = 1$, así que ambos son puntos de inflexión. Como $f(-1) = f(1) = 1 - 6 = -5$, los puntos son $(-1, -5)$ y $(1, -5)$.

   Resultado final: $f''(x) = 12x^2 - 12$; puntos de inflexión en $x = -1$ y $x = 1$

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2. Concavidad y punto de inflexión de una cúbica

   Tema

   5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico

   Dificultad

   Básico

   Método

   Signo de la segunda derivada

   Estudia la concavidad de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ y halla su punto de inflexión.

   Ver solución

   1. Criterio: si $f'' > 0$ en un intervalo, $f$ es cóncava hacia arriba allí; si $f'' < 0$, es cóncava hacia abajo.
   2. $f'(x) = 3x^2 - 6x$ y $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.
   3. $f'' < 0$ para $x < 1$ (cóncava hacia abajo) y $f'' > 0$ para $x > 1$ (cóncava hacia arriba).
   4. La concavidad cambia en $x = 1$, y $f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$: el punto de inflexión es $(1, 2)$.

   Resultado final: Cóncava hacia abajo en $(-\infty, 1)$ y hacia arriba en $(1, \infty)$; inflexión en $(1, 2)$.

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3. Concavidad de x·eˣ

   Tema

   5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Signo de la segunda derivada

   Estudia la concavidad de $f(x) = xe^{x}$ y halla su punto de inflexión.

   Ver solución

   1. $f'(x) = e^{x} + xe^{x} = e^{x}(1 + x)$.
   2. $f''(x) = e^{x}(1 + x) + e^{x} = e^{x}(2 + x)$.
   3. Como $e^{x} > 0$, el signo de $f''$ es el de $x + 2$: negativo para $x < -2$ y positivo para $x > -2$.
   4. La concavidad cambia en $x = -2$, y $f(-2) = -2e^{-2} = -\frac{2}{e^2}$.

   Resultado final: Cóncava hacia abajo en $(-\infty, -2)$ y hacia arriba en $(-2, \infty)$; inflexión en $\left(-2, -\dfrac{2}{e^2}\right)$.

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4. Prueba de la segunda derivada

   Tema

   5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico

   Dificultad

   Básico

   Método

   Prueba de la segunda derivada

   Clasifica los puntos críticos de $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ con la prueba de la segunda derivada.

   Ver solución

   1. $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1)$. Números críticos: $x = -1$ y $x = 2$.
   2. Prueba: si $f'(c) = 0$ y $f''(c) < 0$, hay un máximo local; si $f''(c) > 0$, un mínimo local. Aquí $f''(x) = 12x - 6$.
   3. $f''(-1) = -18 < 0$: máximo local, con $f(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$.
   4. $f''(2) = 18 > 0$: mínimo local, con $f(2) = 16 - 12 - 24 = -20$.

   Resultado final: Máximo local $(-1, 7)$; mínimo local $(2, -20)$.

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5. Cuando la prueba de la segunda derivada no decide

   Tema

   5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Prueba de la primera derivada como alternativa

   Sea $f(x) = x^4$. Muestra que la prueba de la segunda derivada no decide en $x = 0$ y clasifica ese punto crítico por otro método.

   Ver solución

   1. $f'(x) = 4x^3$, que se anula en $x = 0$. Además $f''(x) = 12x^2$, así que $f''(0) = 0$.
   2. Si $f''(c) = 0$, la prueba de la segunda derivada no concluye: el punto puede ser máximo, mínimo o ninguno.
   3. Usamos la primera derivada: $f'(x) = 4x^3$ es negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$.
   4. $f'$ pasa de negativa a positiva: hay un mínimo local (de hecho absoluto) en $x = 0$, con $f(0) = 0$. En cambio, $g(x) = x^3$ también cumple $g'(0) = g''(0) = 0$ y no tiene extremo allí.

   Resultado final: $f''(0) = 0$ no permite decidir; por la primera derivada, $x = 0$ es un mínimo de $x^4$.

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6. Punto de inflexión donde f'' no existe

   Tema

   5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Cambio de signo de f'' alrededor de un punto

   Demuestra que $f(x) = \sqrt[3]{x}$ tiene un punto de inflexión en el origen, aunque $f''(0)$ no existe.

   Ver solución

   1. Un punto de inflexión es un punto de la gráfica, con $f$ continua allí, donde la concavidad cambia. No se exige que $f''$ exista en él.
   2. $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$ y $f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-5/3}$, para $x \neq 0$.
   3. Signo: para $x < 0$, $x^{-5/3} < 0$, así que $f''(x) > 0$ (cóncava hacia arriba). Para $x > 0$, $f''(x) < 0$ (cóncava hacia abajo).
   4. $f$ es continua en $0$ y la concavidad cambia allí: $(0, 0)$ es un punto de inflexión, con tangente vertical.

   Resultado final: $(0, 0)$ es un punto de inflexión de $\sqrt[3]{x}$, aunque $f''(0)$ no existe.

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7. Análisis completo de una función racional

   Tema

   5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Dominio, simetría, asíntotas, primera y segunda derivada

   Haz el análisis completo de $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$: dominio, simetría, asíntotas, crecimiento, extremos y concavidad.

   Ver solución

   1. Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. Como $f(-x) = f(x)$, es par (simétrica respecto del eje $y$). Corta los ejes solo en $(0, 0)$.
   2. Asíntotas: verticales $x = \pm 1$ (numerador $1 \neq 0$ y denominador $0$); horizontal $y = 1$, porque $\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1$.
   3. $f'(x) = \frac{2x(x^2 - 1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}$. Positiva para $x < 0$ y negativa para $x > 0$ (fuera de $\pm 1$): crece en $(-\infty, -1)$ y $(-1, 0)$, decrece en $(0, 1)$ y $(1, \infty)$. Máximo local en $(0, 0)$.
   4. $f''(x) = \frac{6x^2 + 2}{(x^2 - 1)^3}$. El numerador es siempre positivo; el signo lo da $(x^2 - 1)^3$: cóncava hacia arriba para $|x| > 1$ y hacia abajo para $|x| < 1$.
   5. No hay puntos de inflexión: la concavidad cambia en $x = \pm 1$, pero esos puntos no pertenecen al dominio.

   Resultado final: Par; asíntotas $x = \pm 1$ e $y = 1$; máximo local $(0, 0)$; cóncava hacia abajo en $(-1, 1)$ y hacia arriba en $|x| > 1$; sin puntos de inflexión.

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8. Esbozo de la gráfica de una cúbica

   Tema

   5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Interceptos, extremos e inflexión

   Esboza la gráfica de $f(x) = x^3 - 3x$ indicando interceptos, extremos locales y punto de inflexión.

   Ver solución

   1. Interceptos: $f(0) = 0$; $x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = 0$ da $x = 0$ y $x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.73$. Además $f$ es impar, así que su gráfica es simétrica respecto del origen.
   2. $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$: crece en $(-\infty, -1)$, decrece en $(-1, 1)$ y crece en $(1, \infty)$. Máximo local $(-1, 2)$ y mínimo local $(1, -2)$.
   3. $f''(x) = 6x$: cóncava hacia abajo para $x < 0$ y hacia arriba para $x > 0$. Inflexión en $(0, 0)$.
   4. Comportamiento extremo: $f(x) \to -\infty$ cuando $x \to -\infty$ y $f(x) \to +\infty$ cuando $x \to +\infty$.

   Resultado final: Ceros en $0$ y $\pm\sqrt{3}$; máximo $(-1, 2)$; mínimo $(1, -2)$; inflexión $(0, 0)$.

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9. Derivadas y asíntota horizontal

   Tema

   5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Asíntotas, primera y segunda derivada

   Sea $f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}$. Halla su asíntota horizontal, su mínimo y sus puntos de inflexión.

   Ver solución

   1. Asíntota horizontal: $\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{x^2 + 1} = 2$. Además $f(x) < 2$ para todo $x$, porque $2x^2 < 2x^2 + 2$: la gráfica se acerca a $y = 2$ por debajo.
   2. $f'(x) = \frac{4x(x^2 + 1) - 2x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$: negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$. Mínimo en $(0, 0)$.
   3. $f''(x) = \frac{4(1 - 3x^2)}{(x^2 + 1)^3}$: positiva si $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$ y negativa si $|x| > \frac{1}{\sqrt{3}}$.
   4. Inflexiones en $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$, con $f = \frac{2/3}{4/3} = \frac{1}{2}$. La curva pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo al aproximarse a la asíntota.

   Resultado final: Asíntota $y = 2$; mínimo $(0, 0)$; inflexiones en $\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{2}\right)$.

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10. Concavidad de la campana e^(−x²)

    Tema

    5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Signo de la segunda derivada

    Estudia la concavidad de $f(x) = e^{-x^2}$ y halla sus puntos de inflexión.

    Ver solución

    1. $f'(x) = -2xe^{-x^2}$.
    2. Por la regla del producto: $f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x)e^{-x^2} = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$.
    3. Como $e^{-x^2} > 0$, el signo lo da $4x^2 - 2$: negativo si $|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ (cóncava hacia abajo) y positivo si $|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}$ (cóncava hacia arriba).
    4. Inflexiones en $x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$, con $f = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$. El máximo está en $(0, 1)$, y la curva es la «campana» de la distribución normal.

    Resultado final: Inflexiones en $\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)$; cóncava hacia abajo en $|x| < \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ y hacia arriba en $|x| > \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

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