Concavidad de x·eˣ

Tema: 5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico
Dificultad: Intermedio
Método: Signo de la segunda derivada

Estudia la concavidad de $f(x) = xe^{x}$ y halla su punto de inflexión.

Ver solución

$f'(x) = e^{x} + xe^{x} = e^{x}(1 + x)$ .
$f''(x) = e^{x}(1 + x) + e^{x} = e^{x}(2 + x)$ .
Como $e^{x} > 0$ , el signo de $f''$ es el de $x + 2$ : negativo para $x < -2$ y positivo para $x > -2$ .
La concavidad cambia en $x = -2$ , y $f(-2) = -2e^{-2} = -\frac{2}{e^2}$ .

Resultado final: Cóncava hacia abajo en $(-\infty, -2)$ y hacia arriba en $(-2, \infty)$ ; inflexión en $\left(-2, -\dfrac{2}{e^2}\right)$ .