Derivadas y asíntota horizontal

Tema: 5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico
Dificultad: Intermedio
Método: Asíntotas, primera y segunda derivada

Sea $f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}$ . Halla su asíntota horizontal, su mínimo y sus puntos de inflexión.

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Asíntota horizontal: $\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{x^2 + 1} = 2$ . Además $f(x) < 2$ para todo $x$ , porque $2x^2 < 2x^2 + 2$ : la gráfica se acerca a $y = 2$ por debajo.
$f'(x) = \frac{4x(x^2 + 1) - 2x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$ : negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$ . Mínimo en $(0, 0)$ .
$f''(x) = \frac{4(1 - 3x^2)}{(x^2 + 1)^3}$ : positiva si $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$ y negativa si $|x| > \frac{1}{\sqrt{3}}$ .
Inflexiones en $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ , con $f = \frac{2/3}{4/3} = \frac{1}{2}$ . La curva pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo al aproximarse a la asíntota.

Resultado final: Asíntota $y = 2$ ; mínimo $(0, 0)$ ; inflexiones en $\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{2}\right)$ .