Prueba de la segunda derivada

Tema: 5. Aplicaciones de la derivada › 5.2 Concavidad y comportamiento gráfico
Dificultad: Básico
Método: Prueba de la segunda derivada

Clasifica los puntos críticos de $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ con la prueba de la segunda derivada.

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$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1)$ . Números críticos: $x = -1$ y $x = 2$ .
Prueba: si $f'(c) = 0$ y $f''(c) < 0$ , hay un máximo local; si $f''(c) > 0$ , un mínimo local. Aquí $f''(x) = 12x - 6$ .
$f''(-1) = -18 < 0$ : máximo local, con $f(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$ .
$f''(2) = 18 > 0$ : mínimo local, con $f(2) = 16 - 12 - 24 = -20$ .

Resultado final: Máximo local $(-1, 7)$ ; mínimo local $(2, -20)$ .