Continuidad de x sen(1/x) en el origen

1. Condición (i): $f(0) = 0$.
2. Condición (ii): como $\left|\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le 1$, para $x \neq 0$ se cumple $0 \le |f(x)| \le |x|$, es decir, $-|x| \le f(x) \le |x|$.
3. Como $\displaystyle \lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0$, por el teorema del encaje $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0$.
4. Condición (iii): $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$.

Resultado final: $f$ es continua en $x = 0$.