3.1 Conceptos de continuidad

1. Las tres condiciones: función no definida en el punto

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.1 Conceptos de continuidad

   Dificultad

   Básico

   Método

   Verificación de las tres condiciones de continuidad

   ¿Es continua en $x = 1$ la función

   $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\ ?$$

   Ver solución

   1. $f$ es continua en $a$ si se cumplen tres condiciones: (i) $f(a)$ está definido; (ii) $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ existe; (iii) $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
   2. Condición (i): al sustituir $x = 1$ el denominador se anula, así que $f(1)$ no está definido. La condición falla.
   3. Basta con que falle una condición para que $f$ sea discontinua en $x = 1$.
   4. Observación: el límite sí existe, $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$. Por eso la discontinuidad es removible: se elimina definiendo $f(1) = 2$.

   Resultado final: $f$ no es continua en $x = 1$, porque $f(1)$ no está definido (el límite vale $2$).

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2. Continuidad de una función por partes en el punto de empalme

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.1 Conceptos de continuidad

   Dificultad

   Básico

   Método

   Verificación de las tres condiciones con límites laterales

   Determina si es continua en $x = 2$:

   $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x < 2 \\ 5, & x = 2 \\ 3x - 1, & x > 2 \end{cases}$$

   Ver solución

   1. Condición (i): $f(2) = 5$ está definido.
   2. Condición (ii): calculamos los límites laterales. Por la izquierda, $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1) = 5$; por la derecha, $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} (3x - 1) = 5$. Son iguales, así que $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 5$.
   3. Condición (iii): $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 5 = f(2)$.
   4. Se cumplen las tres condiciones.

   Resultado final: $f$ es continua en $x = 2$.

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3. El límite existe pero no coincide con el valor

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.1 Conceptos de continuidad

   Dificultad

   Básico

   Método

   Verificación de las tres condiciones de continuidad

   Sea

   $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}, & x \neq 2 \\ 3, & x = 2 \end{cases}$$

   ¿Es continua en $x = 2$?

   Ver solución

   1. Condición (i): $f(2) = 3$ está definido.
   2. Condición (ii): para $x \neq 2$, $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 4$. El límite existe.
   3. Condición (iii): $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq 3 = f(2)$. Falla.
   4. La discontinuidad es removible: redefiniendo $f(2) = 4$ la función sería continua.

   Resultado final: $f$ no es continua en $x = 2$, porque $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq f(2) = 3$.

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4. Continuidad por la izquierda en el borde del dominio

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.1 Conceptos de continuidad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición de continuidad lateral

   Sea $f(x) = \sqrt{4 - x}$. Analiza su continuidad en $x = 4$.

   Ver solución

   1. Dominio: $4 - x \ge 0$, es decir, $x \le 4$. A la derecha de $4$ la función no está definida, así que solo tiene sentido la continuidad por la izquierda.
   2. Definición: $f$ es continua por la izquierda en $a$ si $\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.
   3. $f(4) = \sqrt{0} = 0$, y $\displaystyle \lim_{x \to 4^-} \sqrt{4 - x} = 0$, porque $4 - x \to 0^+$ y la raíz es continua en $0$ por la derecha.
   4. Como el límite por la izquierda coincide con $f(4)$, $f$ es continua por la izquierda en $4$. Por eso se dice que $f$ es continua en su dominio $(-\infty, 4]$.

   Resultado final: $f$ es continua por la izquierda en $x = 4$ (y $f(4) = 0$).

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5. Continuidad lateral del máximo entero

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.1 Conceptos de continuidad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición de continuidad por la izquierda y por la derecha

   Sea $f(x) = \lfloor x \rfloor$. ¿Es continua en $x = 2$? ¿Es continua por la izquierda o por la derecha?

   Ver solución

   1. $f(2) = 2$.
   2. Por la derecha: si $2 \le x < 3$, $\lfloor x \rfloor = 2$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 = f(2)$. Es continua por la derecha.
   3. Por la izquierda: si $1 \le x < 2$, $\lfloor x \rfloor = 1$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = 1 \neq f(2)$. No es continua por la izquierda.
   4. Como los límites laterales son distintos, el límite bilateral no existe y $f$ no es continua en $2$.

   Resultado final: $f$ no es continua en $x = 2$; es continua por la derecha pero no por la izquierda.

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6. Continuidad en un intervalo cerrado

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.1 Conceptos de continuidad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Continuidad en el interior y continuidad lateral en los extremos

   Demuestra que $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ es continua en el intervalo cerrado $[-3, 3]$.

   Ver solución

   1. $f$ es continua en $[a, b]$ si es continua en cada punto de $(a, b)$, continua por la derecha en $a$ y continua por la izquierda en $b$.
   2. Interior: para $-3 < c < 3$, $9 - c^2 > 0$. El polinomio $9 - x^2$ es continuo y la raíz es continua en los positivos, así que la composición es continua en $c$.
   3. Extremo $a = -3$: $f(-3) = 0$ y $\displaystyle \lim_{x \to -3^+} \sqrt{9 - x^2} = 0$, porque $9 - x^2 \to 0^+$. Es continua por la derecha.
   4. Extremo $b = 3$: de forma análoga, $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} \sqrt{9 - x^2} = 0 = f(3)$. Es continua por la izquierda.

   Resultado final: $f$ es continua en $[-3, 3]$.

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7. Continua en su dominio, pero con un salto en la gráfica

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.1 Conceptos de continuidad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Continuidad en el dominio de una función

   ¿Es continua la función $f(x) = \dfrac{1}{x}$? Discute qué ocurre en $x = 0$.

   Ver solución

   1. $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Una función es continua (en su dominio) si es continua en cada punto de su dominio.
   2. Para cualquier $a \neq 0$: $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{1}{x} = \frac{1}{a} = f(a)$, por la propiedad del cociente de límites. Entonces $f$ es continua en cada punto de su dominio.
   3. El punto $x = 0$ no pertenece al dominio, así que la pregunta «¿es continua en $0$?» no se plantea en el sentido de las tres condiciones: allí falla la condición (i).
   4. La gráfica se rompe en $x = 0$, donde hay una asíntota vertical, pero eso no contradice que $f$ sea continua en su dominio.

   Resultado final: $f$ es continua en su dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$; en $x = 0$ no está definida.

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8. Continuidad de x sen(1/x) en el origen

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.1 Conceptos de continuidad

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Teorema del encaje y definición de continuidad

   Sea

   $$f(x) = \begin{cases} x\operatorname{sen}\left(\dfrac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$

   Demuestra que $f$ es continua en $x = 0$.

   Ver solución

   1. Condición (i): $f(0) = 0$.
   2. Condición (ii): como $\left|\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le 1$, para $x \neq 0$ se cumple $0 \le |f(x)| \le |x|$, es decir, $-|x| \le f(x) \le |x|$.
   3. Como $\displaystyle \lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0$, por el teorema del encaje $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0$.
   4. Condición (iii): $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$.

   Resultado final: $f$ es continua en $x = 0$.

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9. Una función continua solo por la derecha

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.1 Conceptos de continuidad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Límites laterales y continuidad lateral

   Sea

   $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{|x|}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$$

   Estudia la continuidad de $f$ en $x = 0$.

   Ver solución

   1. Para $x > 0$, $\frac{|x|}{x} = 1$; para $x < 0$, $\frac{|x|}{x} = -1$.
   2. Por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 = f(0)$. Es continua por la derecha.
   3. Por la izquierda: $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \neq f(0)$. No es continua por la izquierda.
   4. Los límites laterales son distintos ($-1$ y $1$), así que no existe el límite bilateral y $f$ no es continua en $0$. Ningún valor de $f(0)$ podría hacerla continua.

   Resultado final: $f$ no es continua en $x = 0$; solo es continua por la derecha.

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10. Continuidad demostrada con ε-δ

    Tema

    3. Continuidad de funciones › 3.1 Conceptos de continuidad

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Definición ε-δ de continuidad

    Demuestra con la definición $\varepsilon$-$\delta$ que $f(x) = 2x + 3$ es continua en $x = 1$.

    Ver solución

    1. $f$ es continua en $a$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $|x - a| < \delta$ implica $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$. Aquí $a = 1$ y $f(1) = 5$.
    2. Análisis: $|f(x) - f(1)| = |2x + 3 - 5| = 2|x - 1|$. Queremos $2|x - 1| < \varepsilon$, es decir, $|x - 1| < \frac{\varepsilon}{2}$.
    3. Elección: dado $\varepsilon > 0$, tomamos $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$.
    4. Verificación: si $|x - 1| < \delta$, entonces $|f(x) - 5| = 2|x - 1| < 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$.

    Resultado final: Para cada $\varepsilon > 0$ basta $\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}$; $f$ es continua en $x = 1$.

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