Las tres condiciones: función no definida en el punto

1. $f$ es continua en $a$ si se cumplen tres condiciones: (i) $f(a)$ está definido; (ii) $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ existe; (iii) $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
2. Condición (i): al sustituir $x = 1$ el denominador se anula, así que $f(1)$ no está definido. La condición falla.
3. Basta con que falle una condición para que $f$ sea discontinua en $x = 1$.
4. Observación: el límite sí existe, $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$. Por eso la discontinuidad es removible: se elimina definiendo $f(1) = 2$.

Resultado final: $f$ no es continua en $x = 1$, porque $f(1)$ no está definido (el límite vale $2$).