Aplicación: el mismo lugar a la misma hora

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones
Dificultad: Intermedio
Método: Teorema del valor intermedio aplicado a una diferencia

Una excursionista sube un cerro por un sendero entre las 6:00 y las 12:00 de un día. Al día siguiente baja por el mismo sendero entre las 6:00 y las 12:00. Demuestra que hay un punto del sendero por el que pasa a la misma hora ambos días.

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Sea $L$ la longitud del sendero, $s(t)$ la distancia recorrida desde la base durante la subida y $b(t)$ la distancia a la base durante la bajada, con $t \in [6, 12]$ horas. El movimiento es continuo, así que $s$ y $b$ son continuas.
Datos: $s(6) = 0$ , $s(12) = L$ , $b(6) = L$ y $b(12) = 0$ .
Definimos $h(t) = s(t) - b(t)$ , continua en $[6, 12]$ , con $h(6) = -L < 0$ y $h(12) = L > 0$ .
Por el teorema de Bolzano existe $c \in (6, 12)$ con $h(c) = 0$ , es decir, $s(c) = b(c)$ : a la hora $c$ está en el mismo punto del sendero ambos días.

Resultado final: Existe una hora $c \in (6, 12)$ en la que ocupa el mismo punto del sendero los dos días.