3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones: ejercicios resueltos

Continuidad uniforme de una función lineal

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones
Dificultad: Intermedio
Método: Definición de continuidad uniforme

Demuestra que $f(x) = 3x + 1$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ .

Ver solución

$f$ es uniformemente continua en $I$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ , que no depende del punto, tal que para todos $x, y \in I$ con $|x - y| < \delta$ se cumple $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$ .
Calculamos: $|f(x) - f(y)| = |3x - 3y| = 3|x - y|$ .
Dado $\varepsilon > 0$ , tomamos $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$ , que solo depende de $\varepsilon$ .
Si $|x - y| < \delta$ , entonces $|f(x) - f(y)| = 3|x - y| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$ .

Resultado final: Con $\delta = \dfrac{\varepsilon}{3}$ , $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ .

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x² es uniformemente continua en un intervalo acotado

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones
Dificultad: Intermedio
Método: Definición de continuidad uniforme con acotación

Demuestra que $f(x) = x^2$ es uniformemente continua en $[0, 2]$ .

Ver solución

Para $x, y \in [0, 2]$ : $|f(x) - f(y)| = |x^2 - y^2| = |x + y|\,|x - y|$ .
Como $0 \le x, y \le 2$ , se cumple $|x + y| = x + y \le 4$ . Entonces $|f(x) - f(y)| \le 4|x - y|$ .
Dado $\varepsilon > 0$ , tomamos $\delta = \frac{\varepsilon}{4}$ , independiente de $x$ e $y$ .
Si $|x - y| < \delta$ : $|f(x) - f(y)| \le 4|x - y| < 4 \cdot \frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon$ .

Resultado final: Con $\delta = \dfrac{\varepsilon}{4}$ , $f(x) = x^2$ es uniformemente continua en $[0, 2]$ .

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x² no es uniformemente continua en ℝ

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones
Dificultad: Avanzado
Método: Negación de la definición con sucesiones

Demuestra que $f(x) = x^2$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ .

Ver solución

Negación de la definición: existe $\varepsilon > 0$ tal que para todo $\delta > 0$ hay $x, y$ con $|x - y| < \delta$ pero $|f(x) - f(y)| \ge \varepsilon$ .
Tomamos $x_n = n + \frac{1}{n}$ e $y_n = n$ . Entonces $|x_n - y_n| = \frac{1}{n} \to 0$ : los puntos se acercan tanto como se quiera.
Sin embargo, $|f(x_n) - f(y_n)| = \left(n + \frac{1}{n}\right)^2 - n^2 = 2 + \frac{1}{n^2} \ge 2$ .
Con $\varepsilon = 2$ : dado cualquier $\delta > 0$ , elegimos $n$ con $\frac{1}{n} < \delta$ , y el par $x_n, y_n$ viola la condición. No existe un $\delta$ común a todo $\mathbb{R}$ , porque la función se vuelve cada vez más empinada.

Resultado final: $f(x) = x^2$ es continua en $\mathbb{R}$ , pero no uniformemente continua.

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1/x no es uniformemente continua en (0, 1)

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones
Dificultad: Avanzado
Método: Negación de la definición con sucesiones

Demuestra que $f(x) = \dfrac{1}{x}$ no es uniformemente continua en $(0, 1)$ , aunque sí es continua allí.

Ver solución

$f$ es continua en $(0, 1)$ porque $x \neq 0$ . Para refutar la continuidad uniforme buscamos puntos cercanos con imágenes alejadas.
Tomamos $x_n = \frac{1}{n}$ e $y_n = \frac{1}{n + 1}$ , con $n \ge 2$ , ambos en $(0, 1)$ . Entonces $|x_n - y_n| = \frac{1}{n(n + 1)} \to 0$ .
Sus imágenes: $|f(x_n) - f(y_n)| = |n - (n + 1)| = 1$ para todo $n$ .
Con $\varepsilon = 1$ , ningún $\delta > 0$ sirve: siempre hay un par con $|x_n - y_n| < \delta$ e imágenes a distancia $1$ . Esto no contradice el teorema de Heine-Cantor, porque $(0, 1)$ no es cerrado.

Resultado final: $f(x) = \dfrac{1}{x}$ es continua pero no uniformemente continua en $(0, 1)$ .

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Teorema de Heine-Cantor y un δ explícito para √x

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones
Dificultad: Avanzado
Método: Teorema de Heine-Cantor y desigualdad |√x − √y| ≤ √|x − y|

Justifica que $f(x) = \sqrt{x}$ es uniformemente continua en $[0, 4]$ y halla un $\delta$ explícito en función de $\varepsilon$ .

Ver solución

Teorema de Heine-Cantor: toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en él. $\sqrt{x}$ es continua en $[0, 4]$ , así que es uniformemente continua.
Desigualdad auxiliar: si $0 \le y \le x$ , entonces $\sqrt{x} - \sqrt{y} \le \sqrt{x - y}$ . Elevando al cuadrado (ambos lados son no negativos): $x - 2\sqrt{xy} + y \le x - y$ , que equivale a $y \le \sqrt{xy}$ , cierto porque $y = \sqrt{y}\sqrt{y} \le \sqrt{y}\sqrt{x}$ .
Por simetría, $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le \sqrt{|x - y|}$ para $x, y \ge 0$ .
Dado $\varepsilon > 0$ , tomamos $\delta = \varepsilon^2$ : si $|x - y| < \varepsilon^2$ , entonces $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le \sqrt{|x - y|} < \varepsilon$ .

Resultado final: $\sqrt{x}$ es uniformemente continua en $[0, 4]$ (de hecho en $[0, \infty)$ ), con $\delta = \varepsilon^2$ .

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Aplicación: el mismo lugar a la misma hora

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones
Dificultad: Intermedio
Método: Teorema del valor intermedio aplicado a una diferencia

Una excursionista sube un cerro por un sendero entre las 6:00 y las 12:00 de un día. Al día siguiente baja por el mismo sendero entre las 6:00 y las 12:00. Demuestra que hay un punto del sendero por el que pasa a la misma hora ambos días.

Ver solución

Sea $L$ la longitud del sendero, $s(t)$ la distancia recorrida desde la base durante la subida y $b(t)$ la distancia a la base durante la bajada, con $t \in [6, 12]$ horas. El movimiento es continuo, así que $s$ y $b$ son continuas.
Datos: $s(6) = 0$ , $s(12) = L$ , $b(6) = L$ y $b(12) = 0$ .
Definimos $h(t) = s(t) - b(t)$ , continua en $[6, 12]$ , con $h(6) = -L < 0$ y $h(12) = L > 0$ .
Por el teorema de Bolzano existe $c \in (6, 12)$ con $h(c) = 0$ , es decir, $s(c) = b(c)$ : a la hora $c$ está en el mismo punto del sendero ambos días.

Resultado final: Existe una hora $c \in (6, 12)$ en la que ocupa el mismo punto del sendero los dos días.

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Aplicación: continuidad de una tarifa de envío

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones
Dificultad: Básico
Método: Continuidad en el punto de cambio de tarifa

Una empresa cobra por enviar un paquete de $x$ kg:

C(x) = \begin{cases} 10, & 0 < x \le 5 \\ 10 + 2(x - 5), & x > 5 \end{cases}

(en soles). ¿Es continua la tarifa en $x = 5$ ? ¿Y si el segundo tramo fuera $12 + 2(x - 5)$ ?

Ver solución

$C(5) = 10$ y $\displaystyle \lim_{x \to 5^-} C(x) = 10$ .
Por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to 5^+} \left[10 + 2(x - 5)\right] = 10$ . Los tres valores coinciden: $C$ es continua en $5$ . Un paquete de $5.01$ kg cuesta casi lo mismo que uno de $5$ kg.
Con el segundo tramo $12 + 2(x - 5)$ , el límite por la derecha sería $12 \neq 10$ : habría un salto de S/ 2.
En ese caso, un paquete de $5.01$ kg costaría S/ 12.02 y uno de $5$ kg S/ 10. Es una tarifa discontinua, que penaliza pasarse un poco del límite.

Resultado final: La tarifa dada es continua en $x = 5$ ; con $12 + 2(x - 5)$ tendría un salto de S/ 2.

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Aplicación: hacer continua una función de demanda

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones
Dificultad: Intermedio
Método: Igualación del límite lateral con el valor

La demanda $q$ (unidades) de un producto según su precio $p$ (soles) se modela como

q(p) = \begin{cases} a - 4p, & 0 \le p \le 20 \\ 0, & p > 20 \end{cases}

Halla $a$ para que la demanda sea continua en $p = 20$ e interpreta.

Ver solución

$q(20) = a - 80$ y coincide con el límite por la izquierda.
Por la derecha: $\displaystyle \lim_{p \to 20^+} q(p) = 0$ .
Igualamos: $a - 80 = 0$ , de donde $a = 80$ . Así $q(p) = 80 - 4p$ en $[0, 20]$ .
Interpretación: la demanda cae linealmente desde $80$ unidades (precio $0$ ) hasta $0$ unidades exactamente en el precio $20$ , sin saltos. Con otro valor de $a$ , el modelo diría que un céntimo más de precio hace desaparecer de golpe $a - 80$ unidades de demanda.

Resultado final: $a = 80$ ; la demanda es $q(p) = 80 - 4p$ y se anula justo en $p = 20$ .

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Aplicación: temperatura del agua al hervir

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones
Dificultad: Básico
Método: Continuidad en el punto de cambio del modelo

La temperatura (°C) del agua en una olla se modela, en función del tiempo $t$ en minutos, como

T(t) = \begin{cases} 20 + 4t, & 0 \le t \le 20 \\ 100, & t > 20 \end{cases}

¿Es continuo el modelo en $t = 20$ ? ¿Qué temperatura hay a los $12$ minutos?

Ver solución

$T(20) = 20 + 80 = 100$ , que coincide con el límite por la izquierda.
Por la derecha: $\displaystyle \lim_{t \to 20^+} T(t) = 100$ .
Los tres valores coinciden: el modelo es continuo en $t = 20$ . Físicamente tiene sentido, porque la temperatura no salta de golpe: sube hasta $100$ °C y se mantiene mientras hierve.
A los $12$ minutos: $T(12) = 20 + 48 = 68$ °C.

Resultado final: Es continuo en $t = 20$ ; $T(12) = 68$ °C.

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Aplicación: un impuesto por tramos continuo

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.6 Continuidad uniforme y aplicaciones
Dificultad: Básico
Método: Continuidad en el cambio de tramo

Un impuesto sobre ingresos $x$ (soles) se calcula como

I(x) = \begin{cases} 0.08x, & 0 \le x \le 5000 \\ 400 + 0.14(x - 5000), & x > 5000 \end{cases}

Verifica que es continuo en $x = 5000$ y calcula el impuesto para un ingreso de S/ 8000.

Ver solución

$I(5000) = 0.08 \cdot 5000 = 400$ , que coincide con el límite por la izquierda.
Por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to 5000^+} \left[400 + 0.14(x - 5000)\right] = 400$ . Es continuo: ganar un sol más no dispara el impuesto, solo se aplica la tasa mayor al excedente.
Para $x = 8000 > 5000$ : $I(8000) = 400 + 0.14 \cdot 3000 = 400 + 420 = 820$ .

Resultado final: $I$ es continua en $x = 5000$ ; el impuesto sobre S/ 8000 es S/ 820.

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