Continuidad uniforme de una función lineal

1. $f$ es uniformemente continua en $I$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$, que no depende del punto, tal que para todos $x, y \in I$ con $|x - y| < \delta$ se cumple $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$.
2. Calculamos: $|f(x) - f(y)| = |3x - 3y| = 3|x - y|$.
3. Dado $\varepsilon > 0$, tomamos $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$, que solo depende de $\varepsilon$.
4. Si $|x - y| < \delta$, entonces $|f(x) - f(y)| = 3|x - y| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$.

Resultado final: Con $\delta = \dfrac{\varepsilon}{3}$, $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}$.