Continuidad de una función a trozos

Halla el valor de $k$ para que la siguiente función sea continua en $x = 1$ :

f(x) = \begin{cases} x^2 + k, & x < 1 \ 2x + 3, & x \ge 1 \end{cases}

Ver solución

$f$ es continua en $x = 1$ si $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ .
Valor de la función: como $1 \ge 1$ , usamos el segundo trozo: $f(1) = 2(1) + 3 = 5$ .
Límite por la derecha (segundo trozo, polinomio continuo): $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (2x + 3) = 5$ .
Límite por la izquierda (primer trozo, polinomio continuo): $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} (x^2 + k) = 1 + k$ .
Igualamos: $1 + k = 5$ , de donde $k = 4$ .

Resultado final: $k = 4$