3.4 Determinación de parámetros

1. Continuidad de una función a trozos

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.4 Determinación de parámetros

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Igualación de límites laterales y valor de la función

   Halla el valor de $k$ para que la siguiente función sea continua en $x = 1$:

   $$f(x) = \begin{cases} x^2 + k, & x < 1 \ 2x + 3, & x \ge 1 \end{cases}$$

   Ver solución

   1. $f$ es continua en $x = 1$ si $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
   2. Valor de la función: como $1 \ge 1$, usamos el segundo trozo: $f(1) = 2(1) + 3 = 5$.
   3. Límite por la derecha (segundo trozo, polinomio continuo): $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (2x + 3) = 5$.
   4. Límite por la izquierda (primer trozo, polinomio continuo): $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} (x^2 + k) = 1 + k$.
   5. Igualamos: $1 + k = 5$, de donde $k = 4$.

   Resultado final: $k = 4$

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2. Un parámetro para empalmar dos tramos

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.4 Determinación de parámetros

   Dificultad

   Básico

   Método

   Igualación de límites laterales con el valor de la función

   Halla $a$ para que sea continua en $\mathbb{R}$:

   $$f(x) = \begin{cases} ax + 1, & x < 2 \\ x^2 - a, & x \ge 2 \end{cases}$$

   Ver solución

   1. En cada tramo $f$ es un polinomio, así que es continua para $x \neq 2$. Solo hay que imponer la continuidad en $x = 2$.
   2. $f(2) = 4 - a$ y $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 - a$. Por la izquierda, $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} (ax + 1) = 2a + 1$.
   3. Igualamos: $2a + 1 = 4 - a$, de donde $3a = 3$ y $a = 1$.
   4. Comprobación: con $a = 1$, ambos lados valen $3$ y $f(2) = 3$.

   Resultado final: $a = 1$

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3. Dos parámetros y continuidad en dos puntos

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.4 Determinación de parámetros

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Sistema de ecuaciones por continuidad en cada empalme

   Halla $a$ y $b$ para que sea continua en $\mathbb{R}$:

   $$f(x) = \begin{cases} ax + b, & x < 1 \\ x^2 + 2, & 1 \le x \le 2 \\ bx + a, & x > 2 \end{cases}$$

   Ver solución

   1. Cada tramo es un polinomio, así que basta imponer la continuidad en $x = 1$ y en $x = 2$.
   2. En $x = 1$: $f(1) = 3$ y el límite derecho es $3$; el límite izquierdo es $a + b$. Condición: $a + b = 3$.
   3. En $x = 2$: $f(2) = 6$ y el límite izquierdo es $6$; el límite derecho es $2b + a$. Condición: $a + 2b = 6$.
   4. Restamos la primera ecuación de la segunda: $b = 3$; luego $a = 0$.
   5. Comprobación: en $x = 1$, $0 + 3 = 3$; en $x = 2$, $2(3) + 0 = 6$.

   Resultado final: $a = 0$ y $b = 3$

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4. Valor en el punto para eliminar una discontinuidad con radical

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.4 Determinación de parámetros

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Racionalización y definición f(a) = límite

   Halla $k$ para que sea continua en $x = 3$:

   $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}, & x \neq 3 \\ k, & x = 3 \end{cases}$$

   Ver solución

   1. Para que $f$ sea continua en $3$ se necesita $k = f(3) = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$.
   2. El límite es de la forma $\frac{0}{0}$. Racionalizamos: $\frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 2}{\sqrt{x + 1} + 2} = \frac{x - 3}{(x - 3)\left(\sqrt{x + 1} + 2\right)}$.
   3. Para $x \neq 3$: $\frac{1}{\sqrt{x + 1} + 2}$, que tiende a $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$.
   4. Por lo tanto, $k = \frac{1}{4}$.

   Resultado final: $k = \dfrac{1}{4}$

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5. Parámetro en una función con valor absoluto

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.4 Determinación de parámetros

   Dificultad

   Básico

   Método

   Igualación de límites laterales con el valor de la función

   Halla $a$ para que sea continua en $\mathbb{R}$:

   $$f(x) = \begin{cases} |x - 1| + a, & x \le 3 \\ 2x - 1, & x > 3 \end{cases}$$

   Ver solución

   1. $|x - 1| + a$ es continua (el valor absoluto lo es) y $2x - 1$ también. Solo falta $x = 3$.
   2. $f(3) = |3 - 1| + a = 2 + a$, que coincide con el límite izquierdo.
   3. Límite derecho: $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} (2x - 1) = 5$.
   4. Igualamos: $2 + a = 5$, de donde $a = 3$.

   Resultado final: $a = 3$

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6. Parámetro que hace removible una discontinuidad racional

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.4 Determinación de parámetros

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Condición de raíz común y factorización

   Halla $a$ para que exista $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax - 6}{x - 2}$, y el valor que debe tomar $f(2)$ para que $f(x) = \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2}$ se vuelva continua en $x = 2$.

   Ver solución

   1. El denominador tiende a $0$. Para que el límite sea finito, el numerador también debe tender a $0$; si no, el límite sería infinito. Entonces $4 + 2a - 6 = 0$, es decir, $a = 1$.
   2. Con $a = 1$: $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$.
   3. Para $x \neq 2$, $\frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = x + 3$, así que el límite vale $5$.
   4. Para que la función extendida sea continua en $2$, se define $f(2) = 5$.

   Resultado final: $a = 1$ y $f(2) = 5$

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7. Parámetro con el límite trigonométrico fundamental

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.4 Determinación de parámetros

   Dificultad

   Básico

   Método

   Límite fundamental sen u / u

   Halla $k$ para que sea continua en $x = 0$:

   $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$$

   Ver solución

   1. Se necesita $k = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}$.
   2. Multiplicamos y dividimos por $3$: $\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x} = 3 \cdot \frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}$.
   3. Con $u = 3x \to 0$, $\frac{\operatorname{sen} u}{u} \to 1$, así que el límite es $3$.
   4. Por lo tanto, $k = 3$.

   Resultado final: $k = 3$

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8. Parámetro con el límite exponencial fundamental

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.4 Determinación de parámetros

   Dificultad

   Básico

   Método

   Límite fundamental (e^u − 1)/u

   Halla $a$ para que sea continua en $x = 0$:

   $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2x} - 1}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{cases}$$

   Ver solución

   1. Se necesita $a = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$.
   2. Escribimos $\frac{e^{2x} - 1}{x} = 2 \cdot \frac{e^{2x} - 1}{2x}$.
   3. Con $u = 2x \to 0$, $\frac{e^{u} - 1}{u} \to 1$, así que el límite es $2$.
   4. Por lo tanto, $a = 2$.

   Resultado final: $a = 2$

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9. Dos parámetros: continuidad y un valor dado

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.4 Determinación de parámetros

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Sistema con la condición de continuidad y el dato adicional

   Halla $a$ y $b$ si $f$ es continua en $x = 1$ y $f(3) = 10$:

   $$f(x) = \begin{cases} ax^2, & x < 1 \\ 4x + b, & x \ge 1 \end{cases}$$

   Ver solución

   1. Dato adicional: $3 \ge 1$, así que $f(3) = 12 + b = 10$, de donde $b = -2$.
   2. Continuidad en $x = 1$: $f(1) = 4 + b = 2$, y el límite derecho también vale $2$.
   3. Límite izquierdo: $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} ax^2 = a$. Igualamos: $a = 2$.
   4. Comprobación: con $a = 2$ y $b = -2$, ambos lados valen $2$ en $x = 1$, y $f(3) = 12 - 2 = 10$.

   Resultado final: $a = 2$ y $b = -2$

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10. Parámetro dentro de una raíz para que exista el límite

    Tema

    3. Continuidad de funciones › 3.4 Determinación de parámetros

    Dificultad

    Avanzado

    Método

    Condición de indeterminación 0/0 y racionalización

    Halla $a$ y $k$ para que sea continua en $x = 1$:

    $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x + a} - 3}{x - 1}, & x \neq 1 \\ k, & x = 1 \end{cases}$$

    Ver solución

    1. El denominador tiende a $0$. Para que el límite sea finito, el numerador también debe tender a $0$: $\sqrt{1 + a} - 3 = 0$, es decir, $1 + a = 9$, de donde $a = 8$.
    2. Con $a = 8$ racionalizamos: $\frac{\sqrt{x + 8} - 3}{x - 1} = \frac{(x + 8) - 9}{(x - 1)\left(\sqrt{x + 8} + 3\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + 8} + 3}$ para $x \neq 1$.
    3. El límite es $\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$.
    4. Para que $f$ sea continua en $1$, se toma $k = \frac{1}{6}$.

    Resultado final: $a = 8$ y $k = \dfrac{1}{6}$

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