Parámetro dentro de una raíz para que exista el límite

1. El denominador tiende a $0$. Para que el límite sea finito, el numerador también debe tender a $0$: $\sqrt{1 + a} - 3 = 0$, es decir, $1 + a = 9$, de donde $a = 8$.
2. Con $a = 8$ racionalizamos: $\frac{\sqrt{x + 8} - 3}{x - 1} = \frac{(x + 8) - 9}{(x - 1)\left(\sqrt{x + 8} + 3\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + 8} + 3}$ para $x \neq 1$.
3. El límite es $\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$.
4. Para que $f$ sea continua en $1$, se toma $k = \frac{1}{6}$.

Resultado final: $a = 8$ y $k = \dfrac{1}{6}$