Continuidad de una función inversa

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.3 Continuidad de funciones elementales
Dificultad: Intermedio
Método: Teorema de continuidad de la inversa

Sea $f(x) = x^3 + 1$ . Justifica que su inversa es continua en $\mathbb{R}$ y calcula $\displaystyle \lim_{x \to 9} f^{-1}(x)$ .

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Teorema: si $f$ es continua y estrictamente monótona en un intervalo, su inversa es continua en el intervalo imagen.
$f$ es un polinomio, continuo en $\mathbb{R}$ , y es estrictamente creciente: si $a < b$ , entonces $a^3 < b^3$ , así que $f(a) < f(b)$ . Su imagen es $\mathbb{R}$ .
Entonces $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ es continua en $\mathbb{R}$ .
Por continuidad: $\displaystyle \lim_{x \to 9} f^{-1}(x) = \sqrt[3]{9 - 1} = \sqrt[3]{8} = 2$ . Comprobación: $f(2) = 9$ .

Resultado final: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ es continua en $\mathbb{R}$ y $\displaystyle \lim_{x \to 9} f^{-1}(x) = 2$ .