3.3 Continuidad de funciones elementales

1. Un polinomio es continuo en todo punto

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.3 Continuidad de funciones elementales

   Dificultad

   Básico

   Método

   Propiedades algebraicas de los límites

   Demuestra que $p(x) = 3x^3 - x + 2$ es continua en $x = 2$ usando las propiedades de los límites, y explica por qué lo es en todo $\mathbb{R}$.

   Ver solución

   1. Sabemos que $\displaystyle \lim_{x \to a} x = a$ y $\displaystyle \lim_{x \to a} c = c$ para cualquier constante $c$.
   2. Por las propiedades de potencia, múltiplo constante y suma: $\displaystyle \lim_{x \to 2} (3x^3 - x + 2) = 3(2)^3 - 2 + 2 = 24$.
   3. Por otro lado, $p(2) = 24$. El límite coincide con el valor: $p$ es continua en $2$.
   4. El mismo razonamiento vale en cualquier $a$: $\displaystyle \lim_{x \to a} p(x) = p(a)$. Todo polinomio es continuo en $\mathbb{R}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 2} p(x) = 24 = p(2)$; $p$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

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2. Dónde es continua una función racional

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Continuidad del cociente de polinomios

   Determina dónde es continua

   $$f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 5x + 6}$$

   Ver solución

   1. Una función racional (cociente de polinomios) es continua en todo punto donde el denominador no se anula, por la propiedad del cociente de límites.
   2. Resolvemos $x^2 - 5x + 6 = 0$: $(x - 2)(x - 3) = 0$, es decir, $x = 2$ o $x = 3$.
   3. En esos puntos $f$ no está definida, así que no es continua allí.
   4. En cualquier otro punto es continua.

   Resultado final: $f$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{2, 3\}$.

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3. Continuidad de una función raíz cuadrada

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Continuidad de la raíz y continuidad lateral en el extremo

   Determina el intervalo donde es continua $f(x) = \sqrt{x - 3}$.

   Ver solución

   1. Dominio: $x - 3 \ge 0$, es decir, $x \ge 3$.
   2. Para $a > 3$: $x - 3$ es continua y positiva cerca de $a$, y la raíz cuadrada es continua en los positivos. Por la continuidad de la composición, $f$ es continua en $a$.
   3. En $a = 3$ solo se puede estudiar la continuidad por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \sqrt{x - 3} = 0 = f(3)$.
   4. Por lo tanto, $f$ es continua en todo su dominio.

   Resultado final: $f$ es continua en $[3, \infty)$ (por la derecha en $x = 3$).

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4. Continuidad de una función logarítmica

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Continuidad de la composición con el logaritmo

   Determina dónde es continua $f(x) = \ln\left(x^2 - 1\right)$.

   Ver solución

   1. El logaritmo natural es continuo en $(0, \infty)$, y $x^2 - 1$ es un polinomio continuo en $\mathbb{R}$.
   2. Por la continuidad de la composición, $f$ es continua donde $x^2 - 1 > 0$.
   3. Resolvemos: $x^2 > 1$, es decir, $|x| > 1$, o sea $x < -1$ o $x > 1$.
   4. Ese conjunto es todo el dominio de $f$.

   Resultado final: $f$ es continua en $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

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5. Continuidad de la secante

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Continuidad del cociente de funciones continuas

   Determina dónde es continua $f(x) = \sec x$.

   Ver solución

   1. $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. El numerador $1$ y el coseno son continuos en todo $\mathbb{R}$.
   2. El cociente de funciones continuas es continuo donde el denominador no se anula: se exige $\cos x \neq 0$.
   3. $\cos x = 0$ si y solo si $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$.
   4. En esos puntos hay asíntotas verticales; en el resto, $f$ es continua.

   Resultado final: $\sec x$ es continua en $\left\{x \in \mathbb{R} : x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$.

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6. Continuidad de una función arcoseno compuesta

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Continuidad de la composición con una trigonométrica inversa

   Determina dónde es continua $f(x) = \operatorname{arcsen}(2x - 1)$ y calcula $\displaystyle \lim_{x \to 1/2} f(x)$.

   Ver solución

   1. $\operatorname{arcsen} u$ es continua en $[-1, 1]$ y $2x - 1$ es continua en $\mathbb{R}$. La composición es continua donde $-1 \le 2x - 1 \le 1$.
   2. Resolvemos: $0 \le 2x \le 2$, es decir, $0 \le x \le 1$. En los extremos la continuidad es lateral.
   3. Como $\frac{1}{2} \in [0, 1]$ y $f$ es continua allí, el límite es el valor de la función: $f\left(\frac{1}{2}\right) = \operatorname{arcsen}(0) = 0$.

   Resultado final: $f$ es continua en $[0, 1]$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1/2} f(x) = 0$.

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7. Límite de una compuesta por continuidad

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Teorema de continuidad de la composición

   Justifica que $f(x) = e^{\operatorname{sen} x}$ es continua en $\mathbb{R}$ y calcula $\displaystyle \lim_{x \to \pi} e^{\operatorname{sen} x}$.

   Ver solución

   1. Teorema: si $g$ es continua en $a$ y $h$ es continua en $g(a)$, entonces $h \circ g$ es continua en $a$.
   2. Aquí $g(x) = \operatorname{sen} x$, continua en $\mathbb{R}$, y $h(u) = e^{u}$, continua en $\mathbb{R}$. Por lo tanto, $f = h \circ g$ es continua en $\mathbb{R}$.
   3. Por continuidad, el límite es el valor de la función: $\displaystyle \lim_{x \to \pi} e^{\operatorname{sen} x} = e^{\operatorname{sen}\pi} = e^{0} = 1$.

   Resultado final: $f$ es continua en $\mathbb{R}$ y $\displaystyle \lim_{x \to \pi} e^{\operatorname{sen} x} = 1$.

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8. Continuidad de productos y cocientes de funciones elementales

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.3 Continuidad de funciones elementales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Propiedades de continuidad del producto y el cociente

   Determina dónde es continua

   $$f(x) = \frac{x^2 e^{x}}{\cos x}$$

   Ver solución

   1. $x^2$ y $e^{x}$ son continuas en $\mathbb{R}$; su producto $x^2 e^{x}$ también lo es.
   2. $\cos x$ es continua en $\mathbb{R}$. El cociente de funciones continuas es continuo donde el denominador no se anula.
   3. $\cos x = 0$ si y solo si $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$.
   4. Por lo tanto, $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ salvo en esos puntos.

   Resultado final: $f$ es continua en $\left\{x : x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$.

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9. Continuidad de una función inversa

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.3 Continuidad de funciones elementales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Teorema de continuidad de la inversa

   Sea $f(x) = x^3 + 1$. Justifica que su inversa es continua en $\mathbb{R}$ y calcula $\displaystyle \lim_{x \to 9} f^{-1}(x)$.

   Ver solución

   1. Teorema: si $f$ es continua y estrictamente monótona en un intervalo, su inversa es continua en el intervalo imagen.
   2. $f$ es un polinomio, continuo en $\mathbb{R}$, y es estrictamente creciente: si $a < b$, entonces $a^3 < b^3$, así que $f(a) < f(b)$. Su imagen es $\mathbb{R}$.
   3. Entonces $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ es continua en $\mathbb{R}$.
   4. Por continuidad: $\displaystyle \lim_{x \to 9} f^{-1}(x) = \sqrt[3]{9 - 1} = \sqrt[3]{8} = 2$. Comprobación: $f(2) = 9$.

   Resultado final: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ es continua en $\mathbb{R}$ y $\displaystyle \lim_{x \to 9} f^{-1}(x) = 2$.

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10. Pasar el límite dentro de una función continua

    Tema

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    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Límite de la composición con una función continua

    Calcula

    $$\lim_{x \to 2} \arctan\left(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\right)$$

    Ver solución

    1. Teorema: si $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = L$ y $h$ es continua en $L$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} h(g(x)) = h(L)$.
    2. Límite interior: para $x \neq 2$, $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$.
    3. La función $\arctan$ es continua en $\mathbb{R}$, en particular en $4$.
    4. Por el teorema: el límite es $\arctan 4$. La función interior no está definida en $2$, pero el teorema solo necesita su límite.

    Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 2} \arctan\left(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\right) = \arctan 4$

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