Límite de una compuesta por continuidad

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.3 Continuidad de funciones elementales
Dificultad: Intermedio
Método: Teorema de continuidad de la composición

Justifica que $f(x) = e^{\operatorname{sen} x}$ es continua en $\mathbb{R}$ y calcula $\displaystyle \lim_{x \to \pi} e^{\operatorname{sen} x}$ .

Ver solución

Teorema: si $g$ es continua en $a$ y $h$ es continua en $g(a)$ , entonces $h \circ g$ es continua en $a$ .
Aquí $g(x) = \operatorname{sen} x$ , continua en $\mathbb{R}$ , y $h(u) = e^{u}$ , continua en $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, $f = h \circ g$ es continua en $\mathbb{R}$ .
Por continuidad, el límite es el valor de la función: $\displaystyle \lim_{x \to \pi} e^{\operatorname{sen} x} = e^{\operatorname{sen}\pi} = e^{0} = 1$ .

Resultado final: $f$ es continua en $\mathbb{R}$ y $\displaystyle \lim_{x \to \pi} e^{\operatorname{sen} x} = 1$ .