Continuidad de una función arcoseno compuesta

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.3 Continuidad de funciones elementales
Dificultad: Intermedio
Método: Continuidad de la composición con una trigonométrica inversa

Determina dónde es continua $f(x) = \operatorname{arcsen}(2x - 1)$ y calcula $\displaystyle \lim_{x \to 1/2} f(x)$ .

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$\operatorname{arcsen} u$ es continua en $[-1, 1]$ y $2x - 1$ es continua en $\mathbb{R}$ . La composición es continua donde $-1 \le 2x - 1 \le 1$ .
Resolvemos: $0 \le 2x \le 2$ , es decir, $0 \le x \le 1$ . En los extremos la continuidad es lateral.
Como $\frac{1}{2} \in [0, 1]$ y $f$ es continua allí, el límite es el valor de la función: $f\left(\frac{1}{2}\right) = \operatorname{arcsen}(0) = 0$ .

Resultado final: $f$ es continua en $[0, 1]$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1/2} f(x) = 0$ .