Teorema de conservación del signo

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.5 Teoremas de continuidad
Dificultad: Intermedio
Método: Teorema de conservación del signo y cálculo de un δ explícito

Sea $f(x) = x^2 - 2$ . Como $f(1.5) > 0$ , el teorema de conservación del signo asegura que $f$ es positiva en un intervalo alrededor de $1.5$ . Halla un intervalo concreto de la forma $(1.5 - \delta,\ 1.5 + \delta)$ .

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Teorema de conservación del signo: si $f$ es continua en $a$ y $f(a) > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que $f(x) > 0$ para todo $x \in (a - \delta, a + \delta)$ .
$f(1.5) = 2.25 - 2 = 0.25 > 0$ , y $f$ es continua, así que el teorema se aplica.
Para hallar un $\delta$ concreto: $f(x) > 0$ si y solo si $x^2 > 2$ , y para $x > 0$ eso equivale a $x > \sqrt{2} \approx 1.4142$ .
Con $\delta = 0.08$ : el intervalo es $(1.42,\ 1.58)$ y todos sus puntos cumplen $x > 1.42 > \sqrt{2}$ . Por lo tanto $f(x) > 0$ en todo él.

Resultado final: Por ejemplo, $f(x) > 0$ en $(1.42,\ 1.58)$ (con $\delta = 0.08$ ).