3.5 Teoremas de continuidad: ejercicios resueltos

Existencia de una raíz con el teorema de Bolzano

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.5 Teoremas de continuidad
Dificultad: Básico
Método: Teorema de Bolzano

Demuestra que la ecuación $x^3 - 3x + 1 = 0$ tiene al menos una solución en $(0, 1)$ .

Ver solución

Teorema de Bolzano: si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f(a)\,f(b) < 0$ , existe $c \in (a, b)$ con $f(c) = 0$ .
$f(x) = x^3 - 3x + 1$ es un polinomio, continuo en $[0, 1]$ .
$f(0) = 1 > 0$ y $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0$ , así que $f(0)\,f(1) < 0$ .
Por el teorema, existe $c \in (0, 1)$ con $c^3 - 3c + 1 = 0$ .

Resultado final: La ecuación tiene al menos una solución en $(0, 1)$ .

$f(x) = x^3 - 3x + 1$

La curva pasa de (0, 1), por encima del eje x, a (1, -1), por debajo, y lo cruza entre 0 y 1.

Abrir este ejercicio en su propia página

Teorema del valor intermedio para un valor dado

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.5 Teoremas de continuidad
Dificultad: Intermedio
Método: Teorema del valor intermedio

Demuestra que existe $c \in (0, \pi)$ tal que $c^2 + \cos c = 2$ .

Ver solución

Teorema del valor intermedio: si $f$ es continua en $[a, b]$ y $k$ está entre $f(a)$ y $f(b)$ , existe $c \in (a, b)$ con $f(c) = k$ .
$f(x) = x^2 + \cos x$ es suma de funciones continuas, así que es continua en $[0, \pi]$ .
$f(0) = 0 + 1 = 1$ y $f(\pi) = \pi^2 - 1$ . Como $\pi > 3$ , $\pi^2 - 1 > 8$ .
El valor $k = 2$ cumple $1 < 2 < \pi^2 - 1$ . Por el teorema, existe $c \in (0, \pi)$ con $f(c) = 2$ .

Resultado final: Existe $c \in (0, \pi)$ con $c^2 + \cos c = 2$ .

Abrir este ejercicio en su propia página

Raíz de una ecuación trascendente

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.5 Teoremas de continuidad
Dificultad: Intermedio
Método: Teorema de Bolzano aplicado a la diferencia

Demuestra que la ecuación $e^{x} = 3 - x$ tiene una solución en $(0, 1)$ .

Ver solución

Pasamos todo a un lado: definimos $g(x) = e^{x} + x - 3$ . Las soluciones de la ecuación son los ceros de $g$ .
$g$ es suma de funciones continuas, así que es continua en $[0, 1]$ .
$g(0) = 1 + 0 - 3 = -2 < 0$ y $g(1) = e + 1 - 3 = e - 2 > 0$ , porque $e > 2$ .
Por el teorema de Bolzano, existe $c \in (0, 1)$ con $g(c) = 0$ , es decir, $e^{c} = 3 - c$ .

Resultado final: Existe $c \in (0, 1)$ que satisface $e^{c} = 3 - c$ .

Abrir este ejercicio en su propia página

Contar las raíces reales de una cúbica

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.5 Teoremas de continuidad
Dificultad: Avanzado
Método: Bolzano en varios intervalos y cota del número de raíces

Demuestra que $p(x) = x^3 - 6x + 2$ tiene exactamente tres raíces reales.

Ver solución

$p$ es un polinomio, continuo en $\mathbb{R}$ . Evaluamos en algunos puntos: $p(-3) = -27 + 18 + 2 = -7$ , $p(0) = 2$ , $p(1) = 1 - 6 + 2 = -3$ y $p(3) = 27 - 18 + 2 = 11$ .
Hay cambios de signo en $[-3, 0]$ , en $[0, 1]$ y en $[1, 3]$ .
Por el teorema de Bolzano, hay al menos una raíz en cada uno de los intervalos $(-3, 0)$ , $(0, 1)$ y $(1, 3)$ . Como son disjuntos, hay al menos tres raíces distintas.
Un polinomio de grado $3$ tiene a lo sumo $3$ raíces reales.
Por lo tanto, tiene exactamente tres.

Resultado final: $p$ tiene exactamente tres raíces reales, una en cada intervalo $(-3, 0)$ , $(0, 1)$ y $(1, 3)$ .

$p(x) = x^3 - 6x + 2$

La cúbica cruza el eje x tres veces: entre -3 y 0, entre 0 y 1, y entre 1 y 3.

Abrir este ejercicio en su propia página

Teorema de Weierstrass: máximo y mínimo garantizados

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.5 Teoremas de continuidad
Dificultad: Intermedio
Método: Teorema de Weierstrass y acotación algebraica

Justifica que $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ alcanza un máximo y un mínimo absolutos en $[0, 2]$ , y hállalos.

Ver solución

Teorema de Weierstrass: toda función continua en un intervalo cerrado y acotado $[a, b]$ alcanza en él un máximo y un mínimo absolutos.
$f$ es continua en $[0, 2]$ (cociente de polinomios con denominador $x^2 + 1 > 0$ ), así que el teorema garantiza los extremos.
Máximo: como $(x - 1)^2 \ge 0$ , se cumple $x^2 + 1 \ge 2x$ , y para $x \ge 0$ , $f(x) \le \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$ (si $x > 0$ ). La igualdad ocurre en $x = 1$ : $f(1) = \frac{1}{2}$ .
Mínimo: en $[0, 2]$ , $f(x) \ge 0$ , y $f(0) = 0$ .

Resultado final: Máximo absoluto $\dfrac{1}{2}$ en $x = 1$ ; mínimo absoluto $0$ en $x = 0$ .

Abrir este ejercicio en su propia página

Por qué Weierstrass exige un intervalo cerrado

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.5 Teoremas de continuidad
Dificultad: Intermedio
Método: Contraejemplo a las hipótesis del teorema

Muestra que $f(x) = \dfrac{1}{x}$ es continua en $(0, 1]$ pero no alcanza un máximo absoluto allí. ¿Contradice esto el teorema de Weierstrass?

Ver solución

$f$ es continua en $(0, 1]$ , porque $x \neq 0$ en todo el intervalo.
No tiene máximo: para cualquier $M > 0$ , el punto $x = \frac{1}{M + 1} \in (0, 1]$ cumple $f(x) = M + 1 > M$ . Ningún valor es el mayor.
Sí tiene mínimo: $f$ es decreciente, así que el menor valor se alcanza en $x = 1$ , con $f(1) = 1$ .
No contradice el teorema: Weierstrass exige un intervalo cerrado $[a, b]$ , y $(0, 1]$ no lo es; cerca de $0$ la función crece sin cota.

Resultado final: $f$ no alcanza máximo en $(0, 1]$ (no está acotada); no contradice el teorema, porque el intervalo no es cerrado.

Abrir este ejercicio en su propia página

Teorema de conservación del signo

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.5 Teoremas de continuidad
Dificultad: Intermedio
Método: Teorema de conservación del signo y cálculo de un δ explícito

Sea $f(x) = x^2 - 2$ . Como $f(1.5) > 0$ , el teorema de conservación del signo asegura que $f$ es positiva en un intervalo alrededor de $1.5$ . Halla un intervalo concreto de la forma $(1.5 - \delta,\ 1.5 + \delta)$ .

Ver solución

Teorema de conservación del signo: si $f$ es continua en $a$ y $f(a) > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que $f(x) > 0$ para todo $x \in (a - \delta, a + \delta)$ .
$f(1.5) = 2.25 - 2 = 0.25 > 0$ , y $f$ es continua, así que el teorema se aplica.
Para hallar un $\delta$ concreto: $f(x) > 0$ si y solo si $x^2 > 2$ , y para $x > 0$ eso equivale a $x > \sqrt{2} \approx 1.4142$ .
Con $\delta = 0.08$ : el intervalo es $(1.42,\ 1.58)$ y todos sus puntos cumplen $x > 1.42 > \sqrt{2}$ . Por lo tanto $f(x) > 0$ en todo él.

Resultado final: Por ejemplo, $f(x) > 0$ en $(1.42,\ 1.58)$ (con $\delta = 0.08$ ).

Abrir este ejercicio en su propia página

Aproximar una raíz por bisección

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.5 Teoremas de continuidad
Dificultad: Intermedio
Método: Bisección basada en el teorema de Bolzano

La ecuación $x^3 - x - 1 = 0$ tiene una raíz en $[1, 2]$ . Aplica el método de bisección hasta localizarla en un intervalo de longitud menor que $0.1$ .

Ver solución

$f(x) = x^3 - x - 1$ es continua; $f(1) = -1 < 0$ y $f(2) = 5 > 0$ . Por Bolzano hay una raíz en $(1, 2)$ . Cada paso evalúa el punto medio y conserva la mitad donde hay cambio de signo.
$f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0$ , así que la raíz está en $(1, 1.5)$ . Luego $f(1.25) = 1.953125 - 2.25 = -0.296875 < 0$ , y la raíz está en $(1.25, 1.5)$ .
$f(1.375) \approx 2.5996 - 2.375 = 0.2246 > 0$ , y la raíz está en $(1.25, 1.375)$ .
$f(1.3125) \approx 2.2610 - 2.3125 = -0.0515 < 0$ , y la raíz está en $(1.3125, 1.375)$ , de longitud $0.0625 < 0.1$ .
Cualquier punto de ese intervalo aproxima la raíz con error menor que $0.07$ ; redondeando a una cifra decimal, la raíz es $\approx 1.3$ .

Resultado final: La raíz está en $(1.3125,\ 1.375)$ ; aproximadamente $1.3$ .

Abrir este ejercicio en su propia página

Límite de una compuesta con el teorema de continuidad

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.5 Teoremas de continuidad
Dificultad: Intermedio
Método: Continuidad de la función exterior y límite de la interior

Calcula

\lim_{x \to 0} \cos\left(\frac{\pi\operatorname{sen} x}{x}\right)

Ver solución

Teorema: si $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = L$ y $h$ es continua en $L$ , entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} h(g(x)) = h(L)$ .
Función interior: $g(x) = \frac{\pi\operatorname{sen} x}{x} = \pi \cdot \frac{\operatorname{sen} x}{x} \to \pi \cdot 1 = \pi$ .
Función exterior: $h(u) = \cos u$ , continua en todo $\mathbb{R}$ , en particular en $\pi$ .
Por el teorema: el límite es $\cos\pi = -1$ .

Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \cos\left(\frac{\pi\operatorname{sen} x}{x}\right) = -1$

Abrir este ejercicio en su propia página

Existencia de un punto fijo

Tema: 3. Continuidad de funciones › 3.5 Teoremas de continuidad
Dificultad: Avanzado
Método: Teorema de Bolzano aplicado a g(x) = f(x) − x

Sea $f\colon [0, 1] \to [0, 1]$ continua. Demuestra que existe $c \in [0, 1]$ tal que $f(c) = c$ (un punto fijo).

Ver solución

Definimos $g(x) = f(x) - x$ , continua en $[0, 1]$ por ser diferencia de funciones continuas. Un punto fijo de $f$ es un cero de $g$ .
Como $f(0) \in [0, 1]$ : $g(0) = f(0) - 0 \ge 0$ . Como $f(1) \in [0, 1]$ : $g(1) = f(1) - 1 \le 0$ .
Si $g(0) = 0$ o $g(1) = 0$ , el punto fijo es $c = 0$ o $c = 1$ .
Si no, $g(0) > 0$ y $g(1) < 0$ , y por el teorema de Bolzano existe $c \in (0, 1)$ con $g(c) = 0$ , es decir, $f(c) = c$ .
Ejemplo: con $f(x) = \cos x$ , que lleva $[0, 1]$ en $[\cos 1, 1] \subset [0, 1]$ , existe $c$ con $\cos c = c$ .

Resultado final: Toda función continua de $[0, 1]$ en $[0, 1]$ tiene al menos un punto fijo.

Abrir este ejercicio en su propia página