Contar las raíces reales de una cúbica

1. $p$ es un polinomio, continuo en $\mathbb{R}$. Evaluamos en algunos puntos: $p(-3) = -27 + 18 + 2 = -7$, $p(0) = 2$, $p(1) = 1 - 6 + 2 = -3$ y $p(3) = 27 - 18 + 2 = 11$.
2. Hay cambios de signo en $[-3, 0]$, en $[0, 1]$ y en $[1, 3]$.
3. Por el teorema de Bolzano, hay al menos una raíz en cada uno de los intervalos $(-3, 0)$, $(0, 1)$ y $(1, 3)$. Como son disjuntos, hay al menos tres raíces distintas.
4. Un polinomio de grado $3$ tiene a lo sumo $3$ raíces reales.
5. Por lo tanto, tiene exactamente tres.

Resultado final: $p$ tiene exactamente tres raíces reales, una en cada intervalo $(-3, 0)$, $(0, 1)$ y $(1, 3)$.