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Ejercicios de Cálculo
← 3.5 Teoremas de continuidad

Aproximar una raíz por bisección

Tema
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Dificultad
Intermedio
Método
Bisección basada en el teorema de Bolzano

La ecuación x3−x−1=0x^3 - x - 1 = 0 tiene una raíz en [1,2][1, 2]. Aplica el método de bisección hasta localizarla en un intervalo de longitud menor que 0.10.1.

Ver solución
  1. f(x)=x3−x−1f(x) = x^3 - x - 1 es continua; f(1)=−1<0f(1) = -1 < 0 y f(2)=5>0f(2) = 5 > 0. Por Bolzano hay una raíz en (1,2)(1, 2). Cada paso evalúa el punto medio y conserva la mitad donde hay cambio de signo.
  2. f(1.5)=3.375−1.5−1=0.875>0f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0, así que la raíz está en (1,1.5)(1, 1.5). Luego f(1.25)=1.953125−2.25=−0.296875<0f(1.25) = 1.953125 - 2.25 = -0.296875 < 0, y la raíz está en (1.25,1.5)(1.25, 1.5).
  3. f(1.375)≈2.5996−2.375=0.2246>0f(1.375) \approx 2.5996 - 2.375 = 0.2246 > 0, y la raíz está en (1.25,1.375)(1.25, 1.375).
  4. f(1.3125)≈2.2610−2.3125=−0.0515<0f(1.3125) \approx 2.2610 - 2.3125 = -0.0515 < 0, y la raíz está en (1.3125,1.375)(1.3125, 1.375), de longitud 0.0625<0.10.0625 < 0.1.
  5. Cualquier punto de ese intervalo aproxima la raíz con error menor que 0.070.07; redondeando a una cifra decimal, la raíz es ≈1.3\approx 1.3.

Resultado final: La raíz está en (1.3125, 1.375)(1.3125,\ 1.375); aproximadamente 1.31.3.