Discontinuidad oscilatoria

1. Para que $f$ fuera continua en $0$, toda sucesión $x_n \to 0$ con $x_n \neq 0$ debería cumplir $f(x_n) \to f(0) = 0$.
2. Con $y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi} \to 0$ se obtiene $f(y_n) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1$ para todo $n$, que no tiende a $0$.
3. Además, con $x_n = \frac{1}{n\pi}$ se obtiene $f(x_n) = 0$. Dos sucesiones dan valores distintos, así que el límite (ni siquiera los laterales) no existe.
4. La función toma todos los valores de $[-1, 1]$ en cualquier intervalo alrededor de $0$, sin tender a un número ni a $\pm\infty$: la discontinuidad es oscilatoria (esencial).

Resultado final: Discontinuidad oscilatoria (esencial) en $x = 0$.