3.2 Tipos de discontinuidad

1. Discontinuidad removible en una función racional

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.2 Tipos de discontinuidad

   Dificultad

   Básico

   Método

   Factorización y redefinición de la función

   Clasifica la discontinuidad de $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ en $x = 3$ y, si es posible, elimínala.

   Ver solución

   1. $f(3)$ no está definido, así que $f$ es discontinua en $x = 3$.
   2. Calculamos el límite: para $x \neq 3$, $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$, de donde $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) = 6$.
   3. El límite existe y es finito: la discontinuidad es removible. En la gráfica aparece como un hueco en $(3, 6)$.
   4. Se elimina redefiniendo $f(3) = 6$: la nueva función coincide con $x + 3$ en todo $\mathbb{R}$ y es continua.

   Resultado final: Discontinuidad removible en $x = 3$; se elimina definiendo $f(3) = 6$.

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2. Discontinuidad de salto

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.2 Tipos de discontinuidad

   Dificultad

   Básico

   Método

   Límites laterales finitos y distintos

   Clasifica la discontinuidad en $x = 1$ de

   $$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ x + 3, & x \ge 1 \end{cases}$$

   Ver solución

   1. $f(1) = 1 + 3 = 4$.
   2. Por la izquierda: $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2$. Por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (x + 3) = 4$.
   3. Ambos límites laterales son finitos pero distintos: el límite bilateral no existe y la discontinuidad es de salto.
   4. La magnitud del salto es $4 - 2 = 2$. Ninguna redefinición de $f(1)$ la elimina.

   Resultado final: Discontinuidad de salto en $x = 1$, de magnitud $2$.

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3. Discontinuidad infinita

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.2 Tipos de discontinuidad

   Dificultad

   Básico

   Método

   Límites laterales infinitos

   Clasifica la discontinuidad de $f(x) = \dfrac{1}{(x - 2)^2}$ en $x = 2$.

   Ver solución

   1. $f(2)$ no está definido: el denominador se anula.
   2. Para $x \neq 2$, $(x - 2)^2 > 0$ y tiende a $0$, mientras el numerador vale $1$. Entonces $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$.
   3. Al menos un límite lateral es infinito: la discontinuidad es infinita (esencial), y la recta $x = 2$ es una asíntota vertical.
   4. No es removible: no existe un número $L$ al que se acerque $f(x)$.

   Resultado final: Discontinuidad infinita en $x = 2$ (asíntota vertical).

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4. Discontinuidad oscilatoria

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.2 Tipos de discontinuidad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Criterio de sucesiones

   Sea $f(x) = \operatorname{sen}\left(\dfrac{1}{x}\right)$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0$. Clasifica la discontinuidad en $x = 0$.

   Ver solución

   1. Para que $f$ fuera continua en $0$, toda sucesión $x_n \to 0$ con $x_n \neq 0$ debería cumplir $f(x_n) \to f(0) = 0$.
   2. Con $y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi} \to 0$ se obtiene $f(y_n) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1$ para todo $n$, que no tiende a $0$.
   3. Además, con $x_n = \frac{1}{n\pi}$ se obtiene $f(x_n) = 0$. Dos sucesiones dan valores distintos, así que el límite (ni siquiera los laterales) no existe.
   4. La función toma todos los valores de $[-1, 1]$ en cualquier intervalo alrededor de $0$, sin tender a un número ni a $\pm\infty$: la discontinuidad es oscilatoria (esencial).

   Resultado final: Discontinuidad oscilatoria (esencial) en $x = 0$.

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5. Todas las discontinuidades de una función racional

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.2 Tipos de discontinuidad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Factorización y límite en cada cero del denominador

   Halla y clasifica las discontinuidades de

   $$f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}$$

   Ver solución

   1. Una función racional es continua en su dominio, así que las discontinuidades están donde se anula el denominador: $x^2 - 4 = 0$, es decir, $x = 2$ o $x = -2$.
   2. Factorizamos: $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(x + 2)}$, y para $x \neq 2$, $f(x) = \frac{x + 1}{x + 2}$.
   3. En $x = 2$: $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{3}{4}$. El límite es finito: discontinuidad removible.
   4. En $x = -2$: el numerador de la forma simplificada tiende a $-1 \neq 0$ y el denominador a $0$, así que los límites laterales son infinitos ($+\infty$ por la izquierda, $-\infty$ por la derecha): discontinuidad infinita.

   Resultado final: Removible en $x = 2$ (límite $\frac{3}{4}$) e infinita en $x = -2$.

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6. Discontinuidades de una función definida por partes

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.2 Tipos de discontinuidad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Límites laterales en cada punto de cambio

   Estudia la continuidad de

   $$f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x + 1, & 0 \le x < 2 \\ 5, & x \ge 2 \end{cases}$$

   Ver solución

   1. En cada tramo abierto la función es un polinomio o una constante, así que es continua. Solo hay que revisar los puntos de cambio $x = 0$ y $x = 2$.
   2. En $x = 0$: $f(0) = 1$; $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$ y $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$. Límites laterales finitos y distintos: salto de magnitud $1$.
   3. En $x = 2$: $f(2) = 5$; $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$ y $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} 5 = 5$. Salto de magnitud $2$.
   4. En ambos puntos $f$ es continua por la derecha (el valor coincide con el límite derecho), pero no por la izquierda.

   Resultado final: $f$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$; tiene discontinuidades de salto en $x = 0$ y $x = 2$.

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7. Un hueco con un punto aislado

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.2 Tipos de discontinuidad

   Dificultad

   Básico

   Método

   Comparación del límite con el valor de la función

   Sea

   $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ 5, & x = 1 \end{cases}$$

   Describe su gráfica cerca de $x = 1$ y clasifica la discontinuidad.

   Ver solución

   1. Para $x \neq 1$: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$. La gráfica es la recta $y = x + 1$, salvo en $x = 1$.
   2. $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 2$, pero $f(1) = 5$.
   3. En la gráfica se ve un hueco en $(1, 2)$ (el valor que «debería» tener) y un punto aislado en $(1, 5)$.
   4. Como el límite existe y es finito pero no coincide con $f(1)$, la discontinuidad es removible: basta redefinir $f(1) = 2$.

   Resultado final: Discontinuidad removible en $x = 1$: hueco en $(1, 2)$ y punto aislado en $(1, 5)$.

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8. Clasificación mediante límites laterales con valor absoluto

   Tema

   3. Continuidad de funciones › 3.2 Tipos de discontinuidad

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición del valor absoluto y límites laterales

   Clasifica la discontinuidad en $x = 1$ de

   $$f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1} + x$$

   Ver solución

   1. $f(1)$ no está definido (el denominador se anula).
   2. Por la derecha ($x > 1$): $|x - 1| = x - 1$, así que $f(x) = 1 + x$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$.
   3. Por la izquierda ($x < 1$): $|x - 1| = -(x - 1)$, así que $f(x) = -1 + x$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$.
   4. Los límites laterales son finitos y distintos: discontinuidad de salto, de magnitud $2 - 0 = 2$.

   Resultado final: Discontinuidad de salto en $x = 1$ (límite izquierdo $0$, derecho $2$).

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9. Discontinuidad esencial de e^(1/x)

   Tema

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   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Límites laterales de la exponencial

   Clasifica la discontinuidad de $f(x) = e^{1/x}$ en $x = 0$.

   Ver solución

   1. $f(0)$ no está definido, porque $\frac{1}{x}$ no existe en $0$.
   2. Por la derecha: $\frac{1}{x} \to +\infty$ y $e^{t} \to +\infty$ cuando $t \to +\infty$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{1/x} = +\infty$.
   3. Por la izquierda: $\frac{1}{x} \to -\infty$ y $e^{t} \to 0$ cuando $t \to -\infty$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} e^{1/x} = 0$.
   4. Uno de los límites laterales es infinito: la discontinuidad es infinita (esencial), aunque por la izquierda la función se acerque suavemente a $0$.

   Resultado final: Discontinuidad infinita (esencial) en $x = 0$: límite izquierdo $0$, límite derecho $+\infty$.

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10. Discontinuidades de la función tangente

    Tema

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    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Ceros del coseno y límites laterales

    ¿Dónde es discontinua $f(x) = \tan x$ y de qué tipo son sus discontinuidades?

    Ver solución

    1. $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$ es cociente de funciones continuas, así que es continua donde $\cos x \neq 0$.
    2. $\cos x = 0$ cuando $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. En esos puntos $f$ no está definida.
    3. En $x = \frac{\pi}{2}$: $\operatorname{sen} x \to 1$, y $\cos x \to 0^+$ por la izquierda y $\cos x \to 0^-$ por la derecha. Entonces $\tan x \to +\infty$ por la izquierda y $-\infty$ por la derecha.
    4. Lo mismo ocurre en cada $\frac{\pi}{2} + k\pi$ (la tangente tiene período $\pi$): todas las discontinuidades son infinitas, con asíntotas verticales.

    Resultado final: Discontinuidades infinitas en $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$; en el resto es continua.

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