Discontinuidades de la función tangente

1. $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$ es cociente de funciones continuas, así que es continua donde $\cos x \neq 0$.
2. $\cos x = 0$ cuando $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. En esos puntos $f$ no está definida.
3. En $x = \frac{\pi}{2}$: $\operatorname{sen} x \to 1$, y $\cos x \to 0^+$ por la izquierda y $\cos x \to 0^-$ por la derecha. Entonces $\tan x \to +\infty$ por la izquierda y $-\infty$ por la derecha.
4. Lo mismo ocurre en cada $\frac{\pi}{2} + k\pi$ (la tangente tiene período $\pi$): todas las discontinuidades son infinitas, con asíntotas verticales.

Resultado final: Discontinuidades infinitas en $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$; en el resto es continua.