Discontinuidades de una función definida por partes

1. En cada tramo abierto la función es un polinomio o una constante, así que es continua. Solo hay que revisar los puntos de cambio $x = 0$ y $x = 2$.
2. En $x = 0$: $f(0) = 1$; $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$ y $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$. Límites laterales finitos y distintos: salto de magnitud $1$.
3. En $x = 2$: $f(2) = 5$; $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$ y $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} 5 = 5$. Salto de magnitud $2$.
4. En ambos puntos $f$ es continua por la derecha (el valor coincide con el límite derecho), pero no por la izquierda.

Resultado final: $f$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$; tiene discontinuidades de salto en $x = 0$ y $x = 2$.