Estimación del error en el volumen de una esfera

Tema: 4. Derivadas › 4.10 Aplicaciones físicas y diferenciales
Dificultad: Intermedio
Método: Propagación de errores con diferenciales

Se mide el radio de una esfera: $r = 10$ cm, con un error posible de $\pm 0.05$ cm. Estima el error máximo en el volumen calculado y el error relativo.

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$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . El error en $V$ se aproxima con el diferencial: $dV = 4\pi r^2\,dr$ .
Con $r = 10$ y $|dr| = 0.05$ : $|dV| = 4\pi(100)(0.05) = 20\pi \approx 62.8$ cm³.
Volumen: $V = \frac{4000\pi}{3} \approx 4188.8$ cm³.
Error relativo: $\frac{dV}{V} = \frac{4\pi r^2\,dr}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 3\frac{dr}{r} = 3 \cdot 0.005 = 0.015$ , es decir, $1.5\%$ . El error relativo del radio se triplica en el volumen.

Resultado final: Error máximo $\approx 20\pi \approx 62.8$ cm³; error relativo $\approx 1.5\%$ .