4.10 Aplicaciones físicas y diferenciales

1. Posición, velocidad y aceleración

   Tema

   4. Derivadas › 4.10 Aplicaciones físicas y diferenciales

   Dificultad

   Básico

   Método

   Primera y segunda derivada de la posición

   Una partícula se mueve sobre una recta con posición $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metros, con $t$ en segundos. Halla su velocidad y su aceleración en $t = 4$.

   Ver solución

   1. La velocidad es la derivada de la posición: $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$.
   2. La aceleración es la derivada de la velocidad: $a(t) = v'(t) = 6t - 12$.
   3. En $t = 4$: $v(4) = 48 - 48 + 9 = 9$ m/s.
   4. $a(4) = 24 - 12 = 12$ m/s².

   Resultado final: $v(4) = 9$ m/s y $a(4) = 12$ m/s².

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2. Movimiento rectilíneo: reposo y sentido del movimiento

   Tema

   4. Derivadas › 4.10 Aplicaciones físicas y diferenciales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Signo de la velocidad

   Con $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ (metros, $t \ge 0$ en segundos), determina cuándo la partícula está en reposo y en qué intervalos se mueve hacia adelante o hacia atrás.

   Ver solución

   1. $v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)$.
   2. Reposo: $v(t) = 0$ en $t = 1$ y $t = 3$ segundos.
   3. Signo de $v$: positivo en $[0, 1)$, negativo en $(1, 3)$ y positivo en $(3, \infty)$.
   4. Avanza (sentido positivo) en $[0, 1)$ y en $(3, \infty)$; retrocede en $(1, 3)$. Posiciones de cambio: $s(1) = 4$ m y $s(3) = 0$ m.

   Resultado final: Reposo en $t = 1$ y $t = 3$ s; retrocede en $(1, 3)$ y avanza en $[0, 1)$ y en $(3, \infty)$.

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3. Caída libre: velocidad al llegar al suelo

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Velocidad instantánea como derivada de la altura

   Se deja caer una piedra desde $80$ m de altura. Su altura es $s(t) = 80 - 4.9t^2$ metros. ¿Cuándo llega al suelo y con qué velocidad?

   Ver solución

   1. Llega al suelo cuando $s(t) = 0$: $4.9t^2 = 80$, de donde $t = \sqrt{\frac{80}{4.9}} \approx 4.04$ s (tomamos $t > 0$).
   2. Velocidad: $v(t) = s'(t) = -9.8t$ m/s. El signo negativo indica que la altura disminuye.
   3. En el impacto: $v \approx -9.8 \cdot 4.04 \approx -39.6$ m/s.
   4. La rapidez (valor absoluto de la velocidad) es de unos $39.6$ m/s, es decir, unos $143$ km/h.

   Resultado final: Llega al suelo a los $t \approx 4.04$ s con velocidad $v \approx -39.6$ m/s.

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4. Tasa de cambio promedio e instantánea: costo marginal

   Tema

   4. Derivadas › 4.10 Aplicaciones físicas y diferenciales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Cociente de incrementos y derivada

   El costo de producir $x$ unidades es $C(x) = 0.02x^2 + 5x + 300$ soles. Calcula la tasa de cambio promedio del costo entre $x = 100$ y $x = 110$, y el costo marginal $C'(100)$.

   Ver solución

   1. $C(100) = 200 + 500 + 300 = 1000$ y $C(110) = 242 + 550 + 300 = 1092$.
   2. Tasa promedio: $\frac{1092 - 1000}{110 - 100} = 9.2$ soles por unidad.
   3. Tasa instantánea (costo marginal): $C'(x) = 0.04x + 5$, así que $C'(100) = 4 + 5 = 9$ soles por unidad.
   4. Interpretación: producir la unidad número $101$ cuesta aproximadamente S/ 9. El promedio en $[100, 110]$ es algo mayor porque el costo marginal crece con $x$.

   Resultado final: Tasa promedio: S/ 9.20 por unidad; costo marginal $C'(100) = 9$ soles por unidad.

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5. Diferencial frente a incremento real

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Diferencial dy = f'(x) dx

   Sea $y = x^3$. Para $x = 2$ y $dx = \Delta x = 0.01$, calcula el diferencial $dy$ y el incremento real $\Delta y$, y compáralos.

   Ver solución

   1. Diferencial: $dy = f'(x)\,dx = 3x^2\,dx$. En $x = 2$: $dy = 12 \cdot 0.01 = 0.12$.
   2. Incremento real: $\Delta y = f(2.01) - f(2) = 2.01^3 - 8$.
   3. $2.01^3 = 8.120601$, así que $\Delta y = 0.120601$.
   4. El error de la aproximación es $\Delta y - dy = 0.000601$, mucho menor que $dx$: el diferencial es una excelente aproximación para incrementos pequeños.

   Resultado final: $dy = 0.12$ y $\Delta y = 0.120601$; difieren en $0.000601$.

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6. Aproximación lineal de √4.1

   Tema

   4. Derivadas › 4.10 Aplicaciones físicas y diferenciales

   Dificultad

   Básico

   Método

   Linealización L(x) = f(a) + f'(a)(x − a)

   Usa la aproximación lineal de $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$ para estimar $\sqrt{4.1}$.

   Ver solución

   1. La linealización de $f$ en $a$ es $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$: la recta tangente usada como aproximación.
   2. $f(4) = 2$ y $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, así que $f'(4) = \frac{1}{4}$.
   3. $L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$.
   4. $\sqrt{4.1} \approx L(4.1) = 2 + \frac{0.1}{4} = 2.025$. El valor real es $\approx 2.02485$, con un error menor que $0.0002$.

   Resultado final: $\sqrt{4.1} \approx 2.025$

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7. Estimación del error en el volumen de una esfera

   Tema

   4. Derivadas › 4.10 Aplicaciones físicas y diferenciales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Propagación de errores con diferenciales

   Se mide el radio de una esfera: $r = 10$ cm, con un error posible de $\pm 0.05$ cm. Estima el error máximo en el volumen calculado y el error relativo.

   Ver solución

   1. $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. El error en $V$ se aproxima con el diferencial: $dV = 4\pi r^2\,dr$.
   2. Con $r = 10$ y $|dr| = 0.05$: $|dV| = 4\pi(100)(0.05) = 20\pi \approx 62.8$ cm³.
   3. Volumen: $V = \frac{4000\pi}{3} \approx 4188.8$ cm³.
   4. Error relativo: $\frac{dV}{V} = \frac{4\pi r^2\,dr}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 3\frac{dr}{r} = 3 \cdot 0.005 = 0.015$, es decir, $1.5\%$. El error relativo del radio se triplica en el volumen.

   Resultado final: Error máximo $\approx 20\pi \approx 62.8$ cm³; error relativo $\approx 1.5\%$.

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8. Regla de L'Hôpital aplicada dos veces

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla de L'Hôpital

   Calcula

   $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x^2}$$

   Ver solución

   1. Regla de L’Hôpital: si $f$ y $g$ son derivables cerca de $a$, el límite es de la forma $\frac{0}{0}$ (o $\frac{\infty}{\infty}$), $g'(x) \neq 0$ cerca de $a$ y existe $\displaystyle \lim \frac{f'}{g'}$, entonces $\displaystyle \lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}$.
   2. En $x = 0$: numerador $1 - 1 - 0 = 0$ y denominador $0$. Aplicamos la regla: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{2x}$.
   3. Sigue siendo $\frac{0}{0}$; aplicamos de nuevo: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$.
   4. Como este último límite existe, también existen los anteriores y valen $\frac{1}{2}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}$

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9. Regla de L'Hôpital en la forma ∞/∞

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Regla de L'Hôpital

   Calcula

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^2}$$

   Ver solución

   1. Numerador y denominador tienden a $\infty$: forma $\frac{\infty}{\infty}$. Ambos son derivables para $x > 0$ y $(x^2)' = 2x \neq 0$.
   2. Aplicamos L’Hôpital: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2}$.
   3. Este límite vale $0$.
   4. Interpretación: $x^2$ crece mucho más rápido que $\ln x$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0$

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10. Regla de L'Hôpital en la forma 0·∞

    Tema

    4. Derivadas › 4.10 Aplicaciones físicas y diferenciales

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Transformación a ∞/∞ y regla de L'Hôpital

    Calcula

    $$\lim_{x \to 0^+} x\ln x$$

    Ver solución

    1. Cuando $x \to 0^+$: $x \to 0$ y $\ln x \to -\infty$, una forma $0 \cdot \infty$. L’Hôpital no se aplica directamente a productos.
    2. Lo reescribimos como cociente: $x\ln x = \frac{\ln x}{1/x}$, de la forma $\frac{-\infty}{\infty}$.
    3. Aplicamos L’Hôpital: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x)$.
    4. Este límite vale $0$.

    Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$

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