Tasa de cambio promedio e instantánea: costo marginal

Tema: 4. Derivadas › 4.10 Aplicaciones físicas y diferenciales
Dificultad: Intermedio
Método: Cociente de incrementos y derivada

El costo de producir $x$ unidades es $C(x) = 0.02x^2 + 5x + 300$ soles. Calcula la tasa de cambio promedio del costo entre $x = 100$ y $x = 110$ , y el costo marginal $C'(100)$ .

Ver solución

$C(100) = 200 + 500 + 300 = 1000$ y $C(110) = 242 + 550 + 300 = 1092$ .
Tasa promedio: $\frac{1092 - 1000}{110 - 100} = 9.2$ soles por unidad.
Tasa instantánea (costo marginal): $C'(x) = 0.04x + 5$ , así que $C'(100) = 4 + 5 = 9$ soles por unidad.
Interpretación: producir la unidad número $101$ cuesta aproximadamente S/ 9. El promedio en $[100, 110]$ es algo mayor porque el costo marginal crece con $x$ .

Resultado final: Tasa promedio: S/ 9.20 por unidad; costo marginal $C'(100) = 9$ soles por unidad.