Derivabilidad de x² sen(1/x) en el origen

1. En $x = 0$ no se pueden usar las reglas de derivación (la fórmula no vale allí), así que usamos la definición: $f'(0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$.
2. Para $h \neq 0$: $\frac{h^2\operatorname{sen}(1/h) - 0}{h} = h\operatorname{sen}\left(\frac{1}{h}\right)$.
3. Como $\left|\operatorname{sen}\left(\frac{1}{h}\right)\right| \le 1$: $-|h| \le h\operatorname{sen}\left(\frac{1}{h}\right) \le |h|$, y ambas cotas tienden a $0$.
4. Por el teorema del encaje, el límite es $0$: $f$ es derivable en $0$, con $f'(0) = 0$.

Resultado final: $f$ es derivable en $x = 0$ y $f'(0) = 0$.