4.2 Demostraciones por definición

1. Derivada de una constante por definición

   Tema

   4. Derivadas › 4.2 Demostraciones por definición

   Dificultad

   Básico

   Método

   Definición de derivada por límite

   Demuestra por definición que si $f(x) = c$ (constante), entonces $f'(x) = 0$.

   Ver solución

   1. Definición: $f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
   2. Como $f$ es constante, $f(x + h) = c$ y $f(x) = c$.
   3. El cociente es $\frac{c - c}{h} = \frac{0}{h} = 0$ para todo $h \neq 0$.
   4. El límite de la constante $0$ es $0$. Geométricamente, la gráfica es una recta horizontal, de pendiente $0$.

   Resultado final: $\dfrac{d}{dx}(c) = 0$

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2. Derivada de f(x) = x por definición

   Tema

   4. Derivadas › 4.2 Demostraciones por definición

   Dificultad

   Básico

   Método

   Definición de derivada por límite

   Demuestra por definición que si $f(x) = x$, entonces $f'(x) = 1$.

   Ver solución

   1. $f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h}$.
   2. El numerador se simplifica: $(x + h) - x = h$.
   3. Para $h \neq 0$: $\frac{h}{h} = 1$.
   4. El límite de la constante $1$ es $1$. La recta $y = x$ tiene pendiente $1$ en todo punto.

   Resultado final: $\dfrac{d}{dx}(x) = 1$

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3. Derivada de una función lineal por definición

   Tema

   4. Derivadas › 4.2 Demostraciones por definición

   Dificultad

   Básico

   Método

   Definición de derivada por límite

   Demuestra por definición que si $f(x) = mx + b$, entonces $f'(x) = m$.

   Ver solución

   1. $f(x + h) = m(x + h) + b = mx + mh + b$.
   2. Diferencia: $f(x + h) - f(x) = mh$.
   3. Para $h \neq 0$: $\frac{mh}{h} = m$.
   4. El límite cuando $h \to 0$ es $m$: la derivada de una función lineal es su pendiente, la misma en todo punto.

   Resultado final: $\dfrac{d}{dx}(mx + b) = m$

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4. Derivada de x² por definición

   Tema

   4. Derivadas › 4.2 Demostraciones por definición

   Dificultad

   Básico

   Método

   Definición de derivada y producto notable

   Demuestra por definición que $\dfrac{d}{dx}\left(x^2\right) = 2x$.

   Ver solución

   1. $f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$.
   2. Desarrollamos: $(x + h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2$.
   3. Para $h \neq 0$: $\frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$.
   4. Cuando $h \to 0$: $2x + h \to 2x$.

   Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\left(x^2\right) = 2x$

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5. Derivada de xⁿ por definición

   Tema

   4. Derivadas › 4.2 Demostraciones por definición

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Definición de derivada y binomio de Newton

   Demuestra por definición que, para todo entero $n \ge 1$, $\dfrac{d}{dx}\left(x^n\right) = n x^{n-1}$.

   Ver solución

   1. Por el binomio de Newton: $(x + h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$, con $\binom{n}{1} = n$.
   2. Restamos $x^n$: $(x + h)^n - x^n = n x^{n-1}h + h^2\left[\binom{n}{2}x^{n-2} + \cdots + h^{n-2}\right]$.
   3. Dividimos entre $h \neq 0$: $\frac{(x + h)^n - x^n}{h} = n x^{n-1} + h\left[\binom{n}{2}x^{n-2} + \cdots + h^{n-2}\right]$.
   4. La expresión entre corchetes es un polinomio en $h$, que tiene límite finito cuando $h \to 0$; al multiplicarlo por $h$, el segundo término tiende a $0$.
   5. Por lo tanto el límite es $n x^{n-1}$.

   Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\left(x^n\right) = n x^{n-1}$ para todo entero $n \ge 1$.

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6. Derivada de 1/x por definición

   Tema

   4. Derivadas › 4.2 Demostraciones por definición

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición de derivada y resta de fracciones

   Demuestra por definición que $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\dfrac{1}{x^2}$ para $x \neq 0$.

   Ver solución

   1. $f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}$, con $x \neq 0$ y $h$ pequeño, de modo que $x + h \neq 0$.
   2. Restamos las fracciones: $\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)}$.
   3. Dividimos entre $h \neq 0$: $\frac{-1}{x(x + h)}$.
   4. Cuando $h \to 0$: $\frac{-1}{x \cdot x} = -\frac{1}{x^2}$.

   Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\dfrac{1}{x^2}$

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7. Derivada de √x por definición

   Tema

   4. Derivadas › 4.2 Demostraciones por definición

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición de derivada y racionalización

   Demuestra por definición que $\dfrac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ para $x > 0$.

   Ver solución

   1. $f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$, con $x > 0$ y $h$ pequeño, de modo que $x + h > 0$.
   2. Racionalizamos: $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)}$.
   3. Para $h \neq 0$: $\frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$.
   4. Por la continuidad de la raíz, cuando $h \to 0$ el resultado es $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

   Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, para $x > 0$.

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8. Derivada de una función racional por definición

   Tema

   4. Derivadas › 4.2 Demostraciones por definición

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición de derivada y resta de fracciones

   Usa la definición para hallar la derivada de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, con $x \neq 1$.

   Ver solución

   1. $f(x + h) - f(x) = \frac{2x + 2h + 1}{x + h - 1} - \frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{(2x + 2h + 1)(x - 1) - (2x + 1)(x + h - 1)}{(x + h - 1)(x - 1)}$.
   2. Numerador: $(2x + 1)(x - 1) + 2h(x - 1) - (2x + 1)(x - 1) - (2x + 1)h = h\left[2(x - 1) - (2x + 1)\right] = -3h$.
   3. Dividimos entre $h \neq 0$: $\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{-3}{(x + h - 1)(x - 1)}$.
   4. Cuando $h \to 0$: $f'(x) = \frac{-3}{(x - 1)^2}$.

   Resultado final: $f'(x) = -\dfrac{3}{(x - 1)^2}$

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9. Derivada de √(2x + 3) por definición

   Tema

   4. Derivadas › 4.2 Demostraciones por definición

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definición de derivada y racionalización

   Usa la definición para hallar la derivada de $f(x) = \sqrt{2x + 3}$, con $x > -\dfrac{3}{2}$.

   Ver solución

   1. $\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\sqrt{2x + 2h + 3} - \sqrt{2x + 3}}{h}$.
   2. Racionalizamos: el numerador por su conjugado da $(2x + 2h + 3) - (2x + 3) = 2h$.
   3. Para $h \neq 0$: $\frac{2h}{h\left(\sqrt{2x + 2h + 3} + \sqrt{2x + 3}\right)} = \frac{2}{\sqrt{2x + 2h + 3} + \sqrt{2x + 3}}$.
   4. Cuando $h \to 0$: $\frac{2}{2\sqrt{2x + 3}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 3}}$.

   Resultado final: $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 3}}$

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10. Derivabilidad de x² sen(1/x) en el origen

    Tema

    4. Derivadas › 4.2 Demostraciones por definición

    Dificultad

    Avanzado

    Método

    Definición de derivada y teorema del encaje

    Sea

    $$f(x) = \begin{cases} x^2\operatorname{sen}\left(\dfrac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$

    Demuestra que $f$ es derivable en $x = 0$ y halla $f'(0)$.

    Ver solución

    1. En $x = 0$ no se pueden usar las reglas de derivación (la fórmula no vale allí), así que usamos la definición: $f'(0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$.
    2. Para $h \neq 0$: $\frac{h^2\operatorname{sen}(1/h) - 0}{h} = h\operatorname{sen}\left(\frac{1}{h}\right)$.
    3. Como $\left|\operatorname{sen}\left(\frac{1}{h}\right)\right| \le 1$: $-|h| \le h\operatorname{sen}\left(\frac{1}{h}\right) \le |h|$, y ambas cotas tienden a $0$.
    4. Por el teorema del encaje, el límite es $0$: $f$ es derivable en $0$, con $f'(0) = 0$.

    Resultado final: $f$ es derivable en $x = 0$ y $f'(0) = 0$.

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