Derivada de √x por definición

1. $f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$, con $x > 0$ y $h$ pequeño, de modo que $x + h > 0$.
2. Racionalizamos: $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)}$.
3. Para $h \neq 0$: $\frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$.
4. Por la continuidad de la raíz, cuando $h \to 0$ el resultado es $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, para $x > 0$.