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Ejercicios de Cálculo
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Derivada de 1/x por definición

Tema
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Dificultad
Intermedio
Método
Definición de derivada y resta de fracciones

Demuestra por definición que ddx(1x)=−1x2\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\dfrac{1}{x^2} para x≠0x \neq 0.

Ver solución
  1. f′(x)=lim⁡h→01x+h−1xhf'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}, con x≠0x \neq 0 y hh pequeño, de modo que x+h≠0x + h \neq 0.
  2. Restamos las fracciones: 1x+h−1x=x−(x+h)x(x+h)=−hx(x+h)\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)}.
  3. Dividimos entre h≠0h \neq 0: −1x(x+h)\frac{-1}{x(x + h)}.
  4. Cuando h→0h \to 0: −1x⋅x=−1x2\frac{-1}{x \cdot x} = -\frac{1}{x^2}.

Resultado final: ddx(1x)=−1x2\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\dfrac{1}{x^2}