Derivada de xⁿ por definición

1. Por el binomio de Newton: $(x + h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$, con $\binom{n}{1} = n$.
2. Restamos $x^n$: $(x + h)^n - x^n = n x^{n-1}h + h^2\left[\binom{n}{2}x^{n-2} + \cdots + h^{n-2}\right]$.
3. Dividimos entre $h \neq 0$: $\frac{(x + h)^n - x^n}{h} = n x^{n-1} + h\left[\binom{n}{2}x^{n-2} + \cdots + h^{n-2}\right]$.
4. La expresión entre corchetes es un polinomio en $h$, que tiene límite finito cuando $h \to 0$; al multiplicarlo por $h$, el segundo término tiende a $0$.
5. Por lo tanto el límite es $n x^{n-1}$.

Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\left(x^n\right) = n x^{n-1}$ para todo entero $n \ge 1$.