Continua pero no derivable: la raíz cúbica en el origen

1. Continuidad: la raíz cúbica es continua en $\mathbb{R}$, y $\displaystyle \lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x} = 0 = f(0)$.
2. Derivabilidad: $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{h^{1/3}}{h} = h^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}$ para $h \neq 0$.
3. Como $\sqrt[3]{h^2} > 0$ y tiende a $0$, el cociente tiende a $+\infty$. El límite no es finito, así que $f'(0)$ no existe.
4. Geométricamente, la tangente en el origen es vertical. Esto ilustra que derivable implica continua, pero continua no implica derivable.

Resultado final: $\sqrt[3]{x}$ es continua en $0$ pero no derivable (tangente vertical).