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Ejercicios de Cálculo
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4.1 Fundamentos de la derivada

Contenidos de esta sección

  1. Pendiente de una recta secante

    Tema
    4. Derivadas › 4.1 Fundamentos de la derivada
    Dificultad
    Básico
    Método
    Cociente de incrementos

    Halla la pendiente de la recta secante a f(x)=x2f(x) = x^2 que pasa por los puntos de abscisas x=1x = 1 y x=3x = 3, y escribe su ecuación.

    Ver solución
    1. La pendiente de la secante entre (a,f(a))(a, f(a)) y (b,f(b))(b, f(b)) es el cociente de incrementos m=f(b)−f(a)b−am = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
    2. f(1)=1f(1) = 1 y f(3)=9f(3) = 9, así que m=9−13−1=4m = \frac{9 - 1}{3 - 1} = 4.
    3. Ecuación punto-pendiente con (1,1)(1, 1): y−1=4(x−1)y - 1 = 4(x - 1), es decir, y=4x−3y = 4x - 3.
    4. Comprobación con el otro punto: 4(3)−3=94(3) - 3 = 9.

    Resultado final: La pendiente es 44 y la secante es y=4x−3y = 4x - 3.

    −0.50.511.522.533.54−11234567891011xy(1, 1)(3, 9)
    • f(x)=x2f(x) = x^2
    • secante:y=4x−3secante: y = 4x - 3

    La parábola y = x² y la recta secante que pasa por (1, 1) y (3, 9), con pendiente 4.

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  2. Velocidad media e instantánea

    Tema
    4. Derivadas › 4.1 Fundamentos de la derivada
    Dificultad
    Básico
    Método
    Cociente de incrementos y límite

    Un objeto recorre s(t)=5t2s(t) = 5t^2 metros en tt segundos. Calcula su velocidad media entre t=1t = 1 y t=3t = 3, y su velocidad instantánea en t=2t = 2.

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    1. Velocidad media: vm=s(3)−s(1)3−1=45−52=20v_m = \frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{45 - 5}{2} = 20 m/s.
    2. La velocidad instantánea en t=2t = 2 es el límite de las velocidades medias en [2,2+h][2, 2 + h] cuando h→0h \to 0: v(2)=lim⁡h→0s(2+h)−s(2)hv(2) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{s(2 + h) - s(2)}{h}.
    3. s(2+h)=5(4+4h+h2)=20+20h+5h2s(2 + h) = 5(4 + 4h + h^2) = 20 + 20h + 5h^2, así que s(2+h)−s(2)h=20h+5h2h=20+5h\frac{s(2 + h) - s(2)}{h} = \frac{20h + 5h^2}{h} = 20 + 5h para h≠0h \neq 0.
    4. Cuando h→0h \to 0: v(2)=20v(2) = 20 m/s.

    Resultado final: Velocidad media en [1,3][1, 3]: 2020 m/s; velocidad instantánea en t=2t = 2: 2020 m/s.

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  3. Derivada en un punto por definición

    Tema
    4. Derivadas › 4.1 Fundamentos de la derivada
    Dificultad
    Básico
    Método
    Definición de derivada por límite

    Usa la definición para calcular f′(1)f'(1) si f(x)=3x2−2xf(x) = 3x^2 - 2x.

    Ver solución
    1. Definición: f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, si el límite existe.
    2. f(1)=3−2=1f(1) = 3 - 2 = 1 y f(1+h)=3(1+2h+h2)−2−2h=1+4h+3h2f(1 + h) = 3(1 + 2h + h^2) - 2 - 2h = 1 + 4h + 3h^2.
    3. Cociente: f(1+h)−f(1)h=4h+3h2h=4+3h\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{4h + 3h^2}{h} = 4 + 3h para h≠0h \neq 0.
    4. Límite: f′(1)=lim⁡h→0(4+3h)=4f'(1) = \displaystyle \lim_{h \to 0} (4 + 3h) = 4.

    Resultado final: f′(1)=4f'(1) = 4

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  4. Derivadas laterales de |x| en el origen

    Tema
    4. Derivadas › 4.1 Fundamentos de la derivada
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Derivadas laterales por definición

    Calcula las derivadas laterales de f(x)=∣x∣f(x) = |x| en x=0x = 0. ¿Es derivable allí?

    Ver solución
    1. Derivada por la derecha: f+′(0)=lim⁡h→0+∣h∣−0hf'_+(0) = \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h}. Para h>0h > 0, ∣h∣=h|h| = h, así que el cociente vale 11 y f+′(0)=1f'_+(0) = 1.
    2. Derivada por la izquierda: f−′(0)=lim⁡h→0−∣h∣hf'_-(0) = \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h}. Para h<0h < 0, ∣h∣=−h|h| = -h, así que el cociente vale −1-1 y f−′(0)=−1f'_-(0) = -1.
    3. ff es derivable en 00 si y solo si ambas derivadas laterales existen y son iguales. Aquí 1≠−11 \neq -1.
    4. Geométricamente, la gráfica tiene un «pico» en el origen: no hay una única recta tangente.

    Resultado final: f−′(0)=−1f'_-(0) = -1 y f+′(0)=1f'_+(0) = 1; ∣x∣|x| no es derivable en x=0x = 0.

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  5. Derivabilidad de x|x| en el origen

    Tema
    4. Derivadas › 4.1 Fundamentos de la derivada
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Definición de derivada por límite

    ¿Es derivable f(x)=x∣x∣f(x) = x|x| en x=0x = 0? Si lo es, calcula f′(0)f'(0).

    Ver solución
    1. f(0)=0f(0) = 0. Por definición: f′(0)=lim⁡h→0h∣h∣−0hf'(0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h|h| - 0}{h}.
    2. Para h≠0h \neq 0: h∣h∣h=∣h∣\frac{h|h|}{h} = |h|.
    3. lim⁡h→0∣h∣=0\displaystyle \lim_{h \to 0} |h| = 0, así que el límite existe.
    4. A diferencia de ∣x∣|x|, multiplicar por xx «suaviza» el pico: la gráfica es x2x^2 a la derecha y −x2-x^2 a la izquierda, ambas con pendiente 00 en el origen.

    Resultado final: ff es derivable en 00 y f′(0)=0f'(0) = 0.

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  6. Continua pero no derivable: la raíz cúbica en el origen

    Tema
    4. Derivadas › 4.1 Fundamentos de la derivada
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Relación entre continuidad y derivabilidad

    Demuestra que f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x} es continua en x=0x = 0 pero no es derivable allí.

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    1. Continuidad: la raíz cúbica es continua en R\mathbb{R}, y lim⁡x→0x3=0=f(0)\displaystyle \lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x} = 0 = f(0).
    2. Derivabilidad: f(h)−f(0)h=h1/3h=h−2/3=1h23\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{h^{1/3}}{h} = h^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{h^2}} para h≠0h \neq 0.
    3. Como h23>0\sqrt[3]{h^2} > 0 y tiende a 00, el cociente tiende a +∞+\infty. El límite no es finito, así que f′(0)f'(0) no existe.
    4. Geométricamente, la tangente en el origen es vertical. Esto ilustra que derivable implica continua, pero continua no implica derivable.

    Resultado final: x3\sqrt[3]{x} es continua en 00 pero no derivable (tangente vertical).

    −8−6−4−22468−2.5−2−1.5−1−0.50.511.522.5xy(0, 0)
    • f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x}

    La gráfica de la raíz cúbica es continua y tiene una tangente vertical en el origen.

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  7. Derivabilidad de una función por partes

    Tema
    4. Derivadas › 4.1 Fundamentos de la derivada
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Continuidad y derivadas laterales en el empalme

    ¿Es derivable en x=1x = 1 la función

    f(x)={x2,x≤12x−1,x>1f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}
    Ver solución
    1. Primero, continuidad: f(1)=1f(1) = 1, lim⁡x→1−x2=1\displaystyle \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 y lim⁡x→1+(2x−1)=1\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1. Es continua (condición necesaria).
    2. Derivada por la izquierda: f−′(1)=lim⁡h→0−(1+h)2−1h=lim⁡h→0−(2+h)=2f'_-(1) = \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + h) = 2.
    3. Derivada por la derecha: f+′(1)=lim⁡h→0+2(1+h)−1−1h=lim⁡h→0+2hh=2f'_+(1) = \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{2(1 + h) - 1 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2.
    4. Las derivadas laterales coinciden, así que ff es derivable en 11, con f′(1)=2f'(1) = 2.

    Resultado final: ff es derivable en x=1x = 1 y f′(1)=2f'(1) = 2.

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  8. Parámetros para que una función sea derivable

    Tema
    4. Derivadas › 4.1 Fundamentos de la derivada
    Dificultad
    Avanzado
    Método
    Continuidad e igualdad de derivadas laterales

    Halla aa y bb para que sea derivable en R\mathbb{R}:

    f(x)={x2,x≤2ax+b,x>2f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 2 \\ ax + b, & x > 2 \end{cases}
    Ver solución
    1. Fuera de x=2x = 2 cada tramo es un polinomio derivable. En x=2x = 2 se necesitan dos condiciones: continuidad e igualdad de derivadas laterales.
    2. Continuidad: f(2)=4f(2) = 4 y el límite derecho es 2a+b2a + b. Condición: 2a+b=42a + b = 4.
    3. Derivadas laterales: por la izquierda, la derivada de x2x^2 en 22 es 44; por la derecha, la derivada de ax+bax + b es aa. Condición: a=4a = 4.
    4. Entonces b=4−2a=−4b = 4 - 2a = -4. La recta y=4x−4y = 4x - 4 es justamente la tangente a y=x2y = x^2 en x=2x = 2.

    Resultado final: a=4a = 4 y b=−4b = -4

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  9. La función derivada por definición

    Tema
    4. Derivadas › 4.1 Fundamentos de la derivada
    Dificultad
    Básico
    Método
    Definición de derivada por límite en un punto genérico

    Usa la definición para hallar f′(x)f'(x) si f(x)=2x2−5x+1f(x) = 2x^2 - 5x + 1.

    Ver solución
    1. f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}, con xx fijo.
    2. f(x+h)=2(x2+2xh+h2)−5x−5h+1=2x2+4xh+2h2−5x−5h+1f(x + h) = 2(x^2 + 2xh + h^2) - 5x - 5h + 1 = 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 5x - 5h + 1.
    3. Diferencia: f(x+h)−f(x)=4xh+2h2−5h=h(4x+2h−5)f(x + h) - f(x) = 4xh + 2h^2 - 5h = h(4x + 2h - 5).
    4. Para h≠0h \neq 0 el cociente es 4x+2h−54x + 2h - 5, que tiende a 4x−54x - 5 cuando h→0h \to 0.

    Resultado final: f′(x)=4x−5f'(x) = 4x - 5

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  10. Interpretación geométrica: la derivada como pendiente

    Tema
    4. Derivadas › 4.1 Fundamentos de la derivada
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Definición de derivada y ecuación punto-pendiente

    Sea f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. Calcula f′(3)f'(3) por definición e interprétalo geométricamente escribiendo la recta tangente en x=3x = 3.

    Ver solución
    1. f(3)=9−12=−3f(3) = 9 - 12 = -3 y f(3+h)=(3+h)2−4(3+h)=9+6h+h2−12−4h=−3+2h+h2f(3 + h) = (3 + h)^2 - 4(3 + h) = 9 + 6h + h^2 - 12 - 4h = -3 + 2h + h^2.
    2. Cociente: f(3+h)−f(3)h=2h+h2h=2+h\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h, que tiende a 22. Entonces f′(3)=2f'(3) = 2.
    3. Interpretación: f′(3)f'(3) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (3,−3)(3, -3).
    4. Recta tangente: y−(−3)=2(x−3)y - (-3) = 2(x - 3), es decir, y=2x−9y = 2x - 9.

    Resultado final: f′(3)=2f'(3) = 2; la recta tangente en (3,−3)(3, -3) es y=2x−9y = 2x - 9.

    −1123456−6−5−4−3−2−1123456xy(3, −3)
    • f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x
    • tangente:y=2x−9tangente: y = 2x - 9

    La parábola y = x² − 4x y su recta tangente en (3, -3), de pendiente 2.

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