Derivabilidad de una función por partes

1. Primero, continuidad: $f(1) = 1$, $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1$. Es continua (condición necesaria).
2. Derivada por la izquierda: $f'_-(1) = \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + h) = 2$.
3. Derivada por la derecha: $f'_+(1) = \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{2(1 + h) - 1 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
4. Las derivadas laterales coinciden, así que $f$ es derivable en $1$, con $f'(1) = 2$.

Resultado final: $f$ es derivable en $x = 1$ y $f'(1) = 2$.