Parámetros para que una función sea derivable

Halla $a$ y $b$ para que sea derivable en $\mathbb{R}$ :

f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 2 \\ ax + b, & x > 2 \end{cases}

Ver solución

Fuera de $x = 2$ cada tramo es un polinomio derivable. En $x = 2$ se necesitan dos condiciones: continuidad e igualdad de derivadas laterales.
Continuidad: $f(2) = 4$ y el límite derecho es $2a + b$ . Condición: $2a + b = 4$ .
Derivadas laterales: por la izquierda, la derivada de $x^2$ en $2$ es $4$ ; por la derecha, la derivada de $ax + b$ es $a$ . Condición: $a = 4$ .
Entonces $b = 4 - 2a = -4$ . La recta $y = 4x - 4$ es justamente la tangente a $y = x^2$ en $x = 2$ .

Resultado final: $a = 4$ y $b = -4$