Una derivada sorprendente con arcotangente

1. Con $u = \frac{1 + x}{1 - x}$: $f'(x) = \frac{u'}{1 + u^2}$.
2. Regla del cociente: $u' = \frac{(1 - x) + (1 + x)}{(1 - x)^2} = \frac{2}{(1 - x)^2}$.
3. $1 + u^2 = \frac{(1 - x)^2 + (1 + x)^2}{(1 - x)^2} = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x)^2} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x)^2}$.
4. Dividimos: $f'(x) = \frac{2}{(1 - x)^2} \cdot \frac{(1 - x)^2}{2(1 + x^2)} = \frac{1}{1 + x^2}$.
5. Coincide con la derivada de $\arctan x$: en cada intervalo $(-\infty, 1)$ y $(1, \infty)$, $f(x)$ y $\arctan x$ difieren en una constante.

Resultado final: $f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$, para $x \neq 1$.