4.7 Derivadas trigonométricas inversas: ejercicios resueltos

Derivada del arcoseno

Tema: 4. Derivadas › 4.7 Derivadas trigonométricas inversas
Dificultad: Intermedio
Método: Derivación implícita e identidad pitagórica

Demuestra que $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsen} x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$ .

Ver solución

Sea $y = \operatorname{arcsen} x$ , con $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ . Entonces $\operatorname{sen} y = x$ .
Derivamos implícitamente respecto de $x$ : $\cos y \cdot y' = 1$ , de donde $y' = \frac{1}{\cos y}$ .
En $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ el coseno es positivo, así que $\cos y = \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ .
Por lo tanto $y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ . En $x = \pm 1$ la derivada no existe: la gráfica tiene tangentes verticales.

Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsen} x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

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Derivada del arcocoseno

Tema: 4. Derivadas › 4.7 Derivadas trigonométricas inversas
Dificultad: Básico
Método: Identidad arcsen x + arccos x = π/2

Demuestra que $\dfrac{d}{dx}\arccos x = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$ .

Ver solución

Para $x \in [-1, 1]$ se cumple $\operatorname{arcsen} x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ , porque son ángulos complementarios.
Entonces $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arcsen} x$ .
Derivamos: $\frac{d}{dx}\arccos x = 0 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ .

Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\arccos x = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

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Derivada del arcotangente

Tema: 4. Derivadas › 4.7 Derivadas trigonométricas inversas
Dificultad: Intermedio
Método: Derivación implícita e identidad 1 + tan² = sec²

Demuestra que $\dfrac{d}{dx}\arctan x = \dfrac{1}{1 + x^2}$ para todo $x$ .

Ver solución

Sea $y = \arctan x$ , con $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ . Entonces $\tan y = x$ .
Derivamos implícitamente: $\sec^2 y \cdot y' = 1$ , de donde $y' = \frac{1}{\sec^2 y}$ .
Por la identidad $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2$ .
Por lo tanto $y' = \frac{1}{1 + x^2}$ , definida para todo $x \in \mathbb{R}$ .

Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\arctan x = \dfrac{1}{1 + x^2}$

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Derivada del arcocotangente

Tema: 4. Derivadas › 4.7 Derivadas trigonométricas inversas
Dificultad: Básico
Método: Identidad arctan x + arccot x = π/2

Demuestra que $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\dfrac{1}{1 + x^2}$ .

Ver solución

Con la definición usual ( $\operatorname{arccot} x \in (0, \pi)$ ) se cumple $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$ para todo $x$ .
Entonces $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$ .
Derivamos: $\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}$ .

Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\dfrac{1}{1 + x^2}$

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Derivada del arcosecante

Tema: 4. Derivadas › 4.7 Derivadas trigonométricas inversas
Dificultad: Avanzado
Método: Derivación implícita y análisis del signo de la tangente

Demuestra que $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}$ para $|x| > 1$ .

Ver solución

Sea $y = \operatorname{arcsec} x$ , con $y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ . Entonces $\sec y = x$ .
Derivamos implícitamente: $\sec y\tan y \cdot y' = 1$ , de donde $y' = \frac{1}{x\tan y}$ .
Como $\tan^2 y = \sec^2 y - 1 = x^2 - 1$ , se cumple $|\tan y| = \sqrt{x^2 - 1}$ . Si $x > 1$ , $y \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ y $\tan y > 0$ ; si $x < -1$ , $y \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ y $\tan y < 0$ .
En ambos casos $x\tan y$ es positivo e igual a $|x|\sqrt{x^2 - 1}$ .
Por lo tanto $y' = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}$ , que es siempre positiva: la función arcosecante es creciente en cada tramo.

Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}$ , para $|x| > 1$ .

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Derivada del arcocosecante

Tema: 4. Derivadas › 4.7 Derivadas trigonométricas inversas
Dificultad: Intermedio
Método: Identidad arcsec x + arccsc x = π/2

Demuestra que $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}$ para $|x| > 1$ .

Ver solución

Para $|x| \ge 1$ , con las definiciones usuales, se cumple $\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}$ .
Entonces $\operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arcsec} x$ .
Usando la derivada del arcosecante: $\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}$ .

Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}$

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Arcoseno de una función lineal

Tema: 4. Derivadas › 4.7 Derivadas trigonométricas inversas
Dificultad: Básico
Método: Regla de la cadena con arcsen u

Deriva $f(x) = \operatorname{arcsen}(3x)$ e indica dónde es válida la derivada.

Ver solución

Fórmula con la cadena: $\frac{d}{dx}\operatorname{arcsen} u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ .
$u = 3x$ y $u' = 3$ .
$f'(x) = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$ .
Válida donde $1 - 9x^2 > 0$ , es decir, $|x| < \frac{1}{3}$ .

Resultado final: $f'(x) = \dfrac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$ , para $|x| < \dfrac{1}{3}$ .

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Arcotangente de x²

Tema: 4. Derivadas › 4.7 Derivadas trigonométricas inversas
Dificultad: Básico
Método: Regla de la cadena con arctan u

Deriva $f(x) = \arctan\left(x^2\right)$ .

Ver solución

Fórmula con la cadena: $\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}$ .
$u = x^2$ y $u' = 2x$ .
$f'(x) = \frac{2x}{1 + \left(x^2\right)^2} = \frac{2x}{1 + x^4}$ .

Resultado final: $f'(x) = \dfrac{2x}{1 + x^4}$

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Producto con una función trigonométrica inversa

Tema: 4. Derivadas › 4.7 Derivadas trigonométricas inversas
Dificultad: Intermedio
Método: Regla del producto

Deriva $f(x) = x\arctan x$ .

Ver solución

Regla del producto con $u = x$ y $v = \arctan x$ : $f' = u'v + uv'$ .
$u' = 1$ y $v' = \frac{1}{1 + x^2}$ .
$f'(x) = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$ .

Resultado final: $f'(x) = \arctan x + \dfrac{x}{1 + x^2}$

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Una derivada sorprendente con arcotangente

Tema: 4. Derivadas › 4.7 Derivadas trigonométricas inversas
Dificultad: Avanzado
Método: Regla de la cadena, regla del cociente y simplificación

Deriva y simplifica, para $x \neq 1$ :

f(x) = \arctan\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)

Ver solución

Con $u = \frac{1 + x}{1 - x}$ : $f'(x) = \frac{u'}{1 + u^2}$ .
Regla del cociente: $u' = \frac{(1 - x) + (1 + x)}{(1 - x)^2} = \frac{2}{(1 - x)^2}$ .
$1 + u^2 = \frac{(1 - x)^2 + (1 + x)^2}{(1 - x)^2} = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x)^2} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x)^2}$ .
Dividimos: $f'(x) = \frac{2}{(1 - x)^2} \cdot \frac{(1 - x)^2}{2(1 + x^2)} = \frac{1}{1 + x^2}$ .
Coincide con la derivada de $\arctan x$ : en cada intervalo $(-\infty, 1)$ y $(1, \infty)$ , $f(x)$ y $\arctan x$ difieren en una constante.

Resultado final: $f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$ , para $x \neq 1$ .

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