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Ejercicios de Cálculo
← 4.7 Derivadas trigonométricas inversas

Derivada del arcocosecante

Tema
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Dificultad
Intermedio
Método
Identidad arcsec x + arccsc x = π/2

Demuestra que ddxarccsc⁡x=−1∣x∣x2−1\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} para ∣x∣>1|x| > 1.

Ver solución
  1. Para ∣x∣≥1|x| \ge 1, con las definiciones usuales, se cumple arcsec⁡x+arccsc⁡x=π2\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}.
  2. Entonces arccsc⁡x=π2−arcsec⁡x\operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arcsec} x.
  3. Usando la derivada del arcosecante: ddxarccsc⁡x=−1∣x∣x2−1\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}.

Resultado final: ddxarccsc⁡x=−1∣x∣x2−1\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}